考研數一公式筆記

考研數學（一）核心結論與易錯點詳細筆記

第一部分：高等數學

一、函數、極限、連續

(一) 重要結論與公式

等價無窮小替換 (僅限乘除運算，極限過程為 x → 0 或某特定值導致因子→0)：
- sin x ~ x
- tan x ~ x
- arcsin x ~ x
- arctan x ~ x
- 1 - cos x ~ (1/2)x2
- e^x - 1 ~ x
- ln(1 + x) ~ x
- (1 + x)^α - 1 ~ αx
- a^x - 1 ~ x ln a (其中 a > 0, a ≠ 1)
重要極限：
- lim (sin x / x) = 1 (當 x → 0)
- lim (1 + 1/x)^x = e (當 x → ∞) 或 lim (1 + α(x))^(1/α(x)) = e (當 α(x) → 0)
  - 變形：lim (1 + kx)^(1/x) = e^k (當 x → 0)
洛必達法則使用條件：
- 0/0 型或 ∞/∞ 型未定式。
- 分子分母在去心鄰域內可導。
- lim (f'(x) / g'(x)) 存在或為無窮大。
泰勒公式 (麥克勞林公式是 x?=0 的特殊情況)：
- 帶佩亞諾余項 (局部，用于求極限、判斷極值)：f(x) = f(x?) + f'(x?)(x-x?) + (f''(x?)/2!)(x-x?)2 + ... + (f^(n)(x?)/n!)(x-x?)^n + o((x-x?)^n)
- 常用麥克勞林展開式：
  - e^x = 1 + x + x2/2! + ... + x^n/n! + o(x^n)
  - sin x = x - x3/3! + x?/5! - ... + (-1)^(k-1)x^(2k-1)/(2k-1)! + o(x^(2k))
  - cos x = 1 - x2/2! + x?/4! - ... + (-1)^k x^(2k)/(2k)! + o(x^(2k+1))
  - ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ... + (-1)^(n-1)x^n/n + o(x^n)
  - (1+x)^α = 1 + αx + (α(α-1)/2!)x2 + ... + (α(α-1)...(α-n+1)/n!)x^n + o(x^n)
閉區間上連續函數的性質：
- 有界性與最大值最小值定理：閉區間上的連續函數一定有界，且能取得最大值和最小值。
- 零點定理：若 f(x) 在 [a,b] 上連續，且 f(a)f(b) < 0，則至少存在一點 ξ ∈ (a,b) 使得 f(ξ) = 0。
- 介值定理：若 f(x) 在 [a,b] 上連續，則對任意介于 f(a) 與 f(b) 之間的數 C (或 m與M之間的數)，至少存在一點 ξ ∈ [a,b] 使得 f(ξ) = C。
間斷點分類：
- 第一類間斷點：左右極限都存在。
  - 可去間斷點：lim f(x) (x→x??) = lim f(x) (x→x??) ≠ f(x?) 或 f(x?) 無定義。
  - 跳躍間斷點：lim f(x) (x→x??) ≠ lim f(x) (x→x??)。
- 第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在。
  - 無窮間斷點：極限為 ∞。
  - 振蕩間斷點：極限不存在且不為 ∞ (如 sin(1/x) 在 x=0)。

(二) 常見易錯點與注意事項

等價無窮小替換：
- 只能在乘除時使用，加減法中要慎用或展開足夠多項后使用。
- lim (f(x)/g(x)) 若 f(x) ~ f?(x)，g(x) ~ g?(x)，則 lim (f(x)/g(x)) = lim (f?(x)/g?(x))。
- 注意是哪個變量趨于哪個值時的等價。
洛必達法則：
- 使用前務必檢查是否為 0/0 或 ∞/∞ 型。
- 如果求導后形式更復雜或極限仍不存在，考慮其他方法（等價無窮小、泰勒、重要極限、變量替換等）。
- 可以與其他方法結合使用，如先用等價無窮小簡化再洛必達。
- 洛必達法則并非萬能，有時求導會循環或更復雜。
泰勒公式：
- 注意展開到多少階，通常是展開到不等價無窮小抵消的階數。
- 余項 o(x^n) 的理解。
- 在比較階數、求極限、判斷極值點和拐點時非常有用。
極限的保號性：
- 若 lim f(x) = A > 0 (或 < 0)，則存在 x? 的某去心鄰域，當 x 在此鄰域內時，f(x) > 0 (或 < 0)。
- 反之，若在 x? 的某去心鄰域內 f(x) ≥ 0 (或 ≤ 0)，且 lim f(x) = A 存在，則 A ≥ 0 (或 A ≤ 0)。注意這里是 >=，極限可能取到等號。
判斷函數連續性：
- 分段函數在分段點的連續性需要判斷左極限、右極限、函數值是否三者相等。
- 初等函數在其定義域內都是連續的。
無窮大與無界：
- 無窮大必定無界，但無界不一定是無窮大 (如 f(x) = x sin x 當 x→∞ 時無界但非無窮大)。
變量代換求極限：
- 如令 t = 1/x，注意 x → 0? 對應 t → +∞，x → 0? 對應 t → -∞。

二、一元函數微分學

(一) 重要結論與公式

導數定義：
- f'(x?) = lim (Δy/Δx) (Δx→0) = lim [f(x?+Δx) - f(x?)] / Δx (Δx→0)
- f'(x?) = lim [f(x) - f(x?)] / (x - x?) (x→x?)
- 單側導數：左導數 f'_-(x?)，右導數 f'_+(x?)。可導充要條件是左右導數存在且相等。
基本求導公式與運算法則：(務必熟練掌握)
- 和差積商法則。
- 復合函數求導法則 (鏈式法則)。
- 反函數求導法則：dy/dx = 1 / (dx/dy)。
- 參數方程求導：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。二階：d2y/dx2 = d(dy/dx)/dt / (dx/dt)。
- 隱函數求導：方程兩邊對x求導，注意y是x的函數。
微分中值定理：
- 羅爾定理：f(x) 在 [a,b] 連續，在 (a,b) 可導，f(a)=f(b) ? 至少存在 ξ ∈ (a,b) 使 f'(ξ)=0。
- 拉格朗日中值定理：f(x) 在 [a,b] 連續，在 (a,b) 可導 ? 至少存在 ξ ∈ (a,b) 使 f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)。
- 柯西中值定理：f(x), g(x) 在 [a,b] 連續，在 (a,b) 可導，g'(x) ≠ 0 ? 至少存在 ξ ∈ (a,b) 使 [f(b)-f(a)] / [g(b)-g(a)] = f'(ξ) / g'(ξ)。
導數應用：
- 單調性：f'(x) > 0 ? 單調增；f'(x) < 0 ? 單調減。
- 極值：
  - 必要條件：f(x) 在 x? 處可導且取極值 ? f'(x?)=0。
  - 第一充分條件：x? 左側 f'(x)>0 右側 f'(x)<0 ? x? 為極大值點 (反之為極小)。
  - 第二充分條件：f'(x?)=0 且 f''(x?)<0 ? x? 為極大值點 (f''(x?)>0 為極小)。
- 凹凸性與拐點：
  - f''(x) > 0 ? 曲線凹；f''(x) < 0 ? 曲線凸。
  - 拐點必要條件：若 (x?, f(x?)) 是拐點且 f''(x?) 存在 ? f''(x?)=0。
  - 拐點充分條件：f''(x?)=0 且 f''(x) 在 x? 兩側異號 (或 f'''(x?) ≠ 0 當 f''(x?)=0 時)。
- 漸近線：
  - 水平漸近線：lim f(x) = A (x→∞) ? y=A。
  - 垂直漸近線：lim f(x) = ∞ (x→x?) ? x=x?。
  - 斜漸近線 y = kx + b：k = lim (f(x)/x) (x→∞)，b = lim (f(x) - kx) (x→∞)。
曲率與曲率半徑：
- 曲率 K = |y''| / (1 + y'2)^(3/2)。
- 曲率半徑 ρ = 1/K。

(二) 常見易錯點與注意事項

可導與連續的關系：可導必連續，連續不一定可導 (如 y=|x| 在 x=0 連續但不可導)。
導數定義的應用：
- lim [f(x?+ah) - f(x?+bh)] / h = (a-b)f'(x?) (h→0)。
- 題目中出現 f(x?)，求 f'(x?) 或相關極限，優先考慮導數定義。
分段函數在分段點的可導性：
- 首先保證在該點連續。
- 然后用導數定義求左右導數，判斷是否相等。不能直接代入求導公式再看左右是否相等。
中值定理的輔助函數構造：
- 證明 f'(ξ) + g(ξ)f(ξ) = 0 型，考慮 F(x) = e^(∫g(x)dx) f(x)。
- 證明 f'(ξ) = C 型，考慮 F(x) = f(x) - Cx。
- 涉及 f(a), f(b), f(c) 等多個點，可能需要多次使用中值定理或在不同區間使用。
- 務必寫清中值定理的使用條件。
極值點與最值點：
- 極值是局部概念，最值是全局概念。
- 閉區間上的連續函數求最值，需要比較所有極值點和端點的函數值。
- 駐點 (導數為0的點) 不一定是極值點 (如 y=x3 在 x=0)。不可導點也可能是極值點 (如 y=|x| 在 x=0)。
參數方程求二階導數：公式 d2y/dx2 = d(dy/dx)/dt / (dx/dt) 容易錯寫成分子是 d2y/dt2。
隱函數求導：
- 求完一階導后，若要求二階導，代入一階導的表達式時，如果其中仍含有 y'，也要將其替換掉。
- 對方程兩邊求導時，不要漏掉 y'。
斜漸近線：k 和 b 的極限過程必須一致 (同為 x→+∞ 或同為 x→-∞)。如果左右極限不一致，則可能存在兩條不同的斜漸近線。

三、一元函數積分學

(一) 重要結論與公式

原函數與不定積分：
- 若 F'(x) = f(x)，則 ∫f(x)dx = F(x) + C。
- 基本積分公式 (務必熟練)。
不定積分的性質：
- ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
- ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (k為常數)
不定積分方法：
- 第一類換元法 (湊微分)。
- 第二類換元法：三角代換、根式代換等。務必注意換元后的積分限（定積分）或換回原變量（不定積分）。
- 分部積分法：∫udv = uv - ∫vdu。選擇 u 和 dv 的原則：“反對冪三指”（反三角函數、對數函數、冪函數、三角函數、指數函數，前者優先選作 u）。
定積分定義：∫[a,b] f(x)dx = lim (Σ f(ξ?)Δx?) (λ→0, λ為區間最大長度)。
定積分的性質：
- ∫[a,b] kf(x)dx = k∫[a,b] f(x)dx
- ∫[a,b] [f(x)±g(x)]dx = ∫[a,b]f(x)dx ± ∫[a,b]g(x)dx
- ∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx
- ∫[a,a] f(x)dx = 0
- ∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dx
- 若在 [a,b] 上 f(x) ≤ g(x)，則 ∫[a,b] f(x)dx ≤ ∫[a,b] g(x)dx。
- 估值定理：若 m ≤ f(x) ≤ M 在 [a,b] 上，則 m(b-a) ≤ ∫[a,b] f(x)dx ≤ M(b-a)。
- 中值定理：若 f(x) 在 [a,b] 連續，則至少存在 ξ ∈ [a,b] 使 ∫[a,b] f(x)dx = f(ξ)(b-a)。
牛頓-萊布尼茨公式：若 F'(x)=f(x)，則 ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)。
變限積分函數及其導數：
- d/dx [∫[a,x] f(t)dt] = f(x)
- d/dx [∫[a,φ(x)] f(t)dt] = f(φ(x))φ'(x)
- d/dx [∫[ψ(x),φ(x)] f(t)dt] = f(φ(x))φ'(x) - f(ψ(x))ψ'(x)
對稱區間上的積分性質 (奇偶性)：
- 若 f(x)為奇函數，則 ∫[-a,a] f(x)dx = 0。
- 若 f(x)為偶函數，則 ∫[-a,a] f(x)dx = 2∫[0,a] f(x)dx。
- 推廣：∫[0,π] xf(sin x)dx = (π/2)∫[0,π] f(sin x)dx (華里士公式相關)
- 推廣：∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,b] f(a+b-x)dx
反常積分 (廣義積分)：
- 無窮限反常積分：∫[a,+∞) f(x)dx = lim (t→+∞) ∫[a,t] f(x)dx。
  - ∫[1,+∞) (1/x^p) dx：當 p > 1 時收斂，當 p ≤ 1 時發散。
- 無界函數反常積分：若 f(x) 在 x=b 無界 (瑕點)，∫[a,b) f(x)dx = lim (ε→0?) ∫[a,b-ε] f(x)dx。
  - ∫[0,1) (1/x^p) dx：當 p < 1 時收斂，當 p ≥ 1 時發散。(注意與無窮限的區別)
定積分應用：
- 平面圖形面積：直角坐標、極坐標。
- 旋轉體體積：繞x軸、繞y軸。
- 平面曲線弧長：直角坐標、參數方程、極坐標。
- 物理應用：變力做功、壓力、引力等 (數一較少直接考，但思想會融入)。

(二) 常見易錯點與注意事項

不定積分結果：務必記得 + C。
換元法：
- 定積分換元后，積分限也要相應改變。
- 不定積分換元后，結果要換回原變量。
- 三角代換時，注意輔助角的范圍，以及開方時的符號。
分部積分法：
- ∫udv 中 dv 容易漏掉 dx。
- 循環積分的情況 (如 e^x sin x)，要移項求解。
牛頓-萊布尼茨公式使用條件：被積函數 f(x) 在積分區間 [a,b] 上必須連續 (或只有有限個第一類間斷點，可以分段積分)。如果含有第二類間斷點，不能直接用。
變限積分求導：
- 看清楚積分變量和求導變量。
- 如果積分上限或下限是復合函數，不要忘記乘以其導數。
對稱區間積分性質的濫用：
- 必須是關于原點對稱的區間 [-a,a]。
- ∫[0, 2a] f(x)dx 不一定等于 2∫[0,a] f(x)dx，除非有周期性等特殊條件。
反常積分斂散性判斷：
- 比較判別法：0 ≤ f(x) ≤ g(x)，若 ∫g(x)dx 收斂，則 ∫f(x)dx 收斂；若 ∫f(x)dx 發散，則 ∫g(x)dx 發散。
- 極限比較判別法：lim (f(x)/g(x)) = L (x→瑕點或∞)。若 0 < L < +∞，則 ∫f(x)dx與∫g(x)dx同斂散。若 L=0 且 ∫g(x)dx 收斂，則 ∫f(x)dx 收斂。若 L=+∞ 且 ∫g(x)dx 發散，則 ∫f(x)dx 發散。
- 常用 1/x^p 作為比較對象。
定積分求面積：
- 注意曲線在x軸上方還是下方，可能需要分段或取絕對值。
- 兩曲線所圍面積 ∫[a,b] |f(x)-g(x)|dx，要確定上下關系。
- 極坐標面積 (1/2)∫[α,β] r2(θ)dθ。
定積分求旋轉體體積：
- 區分繞x軸還是繞y軸，公式不同。
- “微元法”思想很重要：切片法(垂直于旋轉軸)、柱殼法(平行于旋轉軸)。

四、向量代數與空間解析幾何 (Math I 專屬)

(一) 重要結論與公式

向量線性運算：加減法、數乘。
數量積 (點積)：a · b = |a||b|cosθ = x?x? + y?y? + z?z?。
- a ⊥ b ? a · b = 0 (若a,b非零向量)。
向量積 (叉積)：a × b 是一個向量，其模 |a × b| = |a||b|sinθ (平行四邊形面積)，方向符合右手定則。
- 坐標表示：a × b = (y?z? - y?z?, z?x? - z?x?, x?y? - x?y?) (可用三階行列式記憶)。
- a // b ? a × b = 0 (若a,b非零向量)。
混合積：[a b c] = (a × b) · c。其絕對值為以a,b,c為棱的平行六面體體積。
- [a b c] = 0 ? a, b, c 共面。
平面方程：
- 點法式：A(x-x?) + B(y-y?) + C(z-z?) = 0 (法向量 n=(A,B,C)，過點 (x?,y?,z?))。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 截距式：x/a + y/b + z/c = 1。
直線方程：
- 參數式：x = x? + mt, y = y? + nt, z = z? + pt (方向向量 s=(m,n,p)，過點 (x?,y?,z?))。
- 對稱式 (點向式)：(x-x?)/m = (y-y?)/n = (z-z?)/p。
- 一般式：兩平面方程聯立。
點到平面的距離：d = |Ax? + By? + Cz? + D| / sqrt(A2 + B2 + C2)。
兩平面夾角：cosθ = |n?·n?| / (|n?||n?|)。
直線與平面夾角：sinφ = |s·n| / (|s||n|) (φ為直線與平面夾角，s為直線方向向量，n為平面法向量)。
常見二次曲面：球面、橢球面、柱面、錐面、旋轉拋物面、雙曲拋物面(馬鞍面)、單葉雙曲面、雙葉雙曲面 (了解標準方程和圖形特征)。

(二) 常見易錯點與注意事項

點積與叉積的混淆：點積是數量，叉積是向量。
叉積不滿足交換律：a × b = - (b × a)。
平面法向量與直線方向向量的確定：
- 平面一般式 Ax+By+Cz+D=0 的法向量是 (A,B,C)。
- 直線對稱式分母是方向向量的分量。
- 兩平面交線的方向向量是兩平面法向量的叉積 s = n? × n?。
直線方程對稱式的分母為0的處理：若 m=0，則寫成 x-x?=0, (y-y?)/n = (z-z?)/p。
夾角公式中的絕對值：通常求銳角，所以數量積或向量積的模要取絕對值。
直線與平面的夾角是 sinφ 而不是 cosφ。可以畫圖理解，直線方向向量與平面法向量的夾角 θ 與線面角 φ 的關系是 θ + φ = π/2 或 |θ - φ| = π/2。
判別共面與共線：
- 三向量共面：混合積為0。
- 四點共面：如A,B,C,D，則向量 AB, AC, AD 共面。
- 三點共線：如A,B,C，則向量 AB // AC (即 AB × AC = 0)。

五、多元函數微分學

(一) 重要結論與公式

偏導數定義：
- ?z/?x |_(x?,y?) = lim (Δx→0) [f(x?+Δx, y?) - f(x?,y?)] / Δx
- ?z/?y |_(x?,y?) = lim (Δy→0) [f(x?, y?+Δy) - f(x?,y?)] / Δy
全微分定義：
- 若 Δz = AΔx + BΔy + o(ρ) (其中 ρ = sqrt(Δx2 + Δy2))，則稱函數 z=f(x,y) 在點 (x?,y?) 可微，且全微分為 dz = AΔx + BΔy = (?z/?x)dx + (?z/?y)dy。
- 可微 ? 偏導數存在。偏導數存在不一定可微。
- 若偏導數連續 ? 可微。
復合函數求偏導 (鏈式法則)：務必畫出變量間的依賴關系圖。
- 如 z = f(u,v), u = φ(x,y), v = ψ(x,y)，則 ?z/?x = (?f/?u)(?u/?x) + (?f/?v)(?v/?x)。
隱函數求偏導：
- 由 F(x,y,z) = 0 確定的隱函數 z=z(x,y)：?z/?x = - (F'_x / F'_z)， ?z/?y = - (F'_y / F'_z) (前提 F'_z ≠ 0)。
- 由方程組確定的隱函數組求導：聯立方程，分別對自變量求偏導，解線性方程組。
多元函數極值：
- 必要條件：若 f(x,y) 在 (x?,y?) 處取極值且偏導數存在 ? f'_x(x?,y?)=0, f'_y(x?,y?)=0。
- 充分條件：設 f'_x(x?,y?)=0, f'_y(x?,y?)=0。記 A=f''_{xx}(x?,y?), B=f''_{xy}(x?,y?), C=f''_{yy}(x?,y?)。
  - 若 AC - B2 > 0：A>0 為極小值；A<0 為極大值。
  - 若 AC - B2 < 0：不是極值。
  - 若 AC - B2 = 0：方法失效，需用定義或其他方法判斷。
條件極值 (拉格朗日乘數法)：
- 求 z=f(x,y) 在約束條件 φ(x,y)=0 下的極值。
- 構造拉格朗日函數 L(x,y,λ) = f(x,y) + λφ(x,y)。
- 令 L'_x = 0, L'_y = 0, L'_λ = 0 (即 φ(x,y)=0)，解出可能的極值點。
- (推廣到多個變量、多個約束條件類似)
方向導數與梯度 (Math I 專屬)：
- 方向導數：?f/?l |_(x?,y?) = f'_x(x?,y?)cosα + f'_y(x?,y?)cosβ (l為方向，cosα, cosβ為方向余弦)。
- 梯度：grad f |_(x?,y?) = (f'_x(x?,y?), f'_y(x?,y?)) 是一個向量。
- 梯度方向是函數增長最快的方向，梯度的模是最大方向導數值。
- ?f/?l = grad f · l? (l?為l方向的單位向量)。

(二) 常見易錯點與注意事項

偏導數存在與連續、可微的關系：
- 偏導數存在不一定連續，也不一定可微。
- 偏導數連續 ? 可微 ? 連續 ? 偏導數存在。
- 分段函數在分界線上/點上求偏導數，務必用定義。
全微分的計算：dz 與 Δz 的區別。dx=Δx, dy=Δy。
復合函數求導的鏈式法則：
- 不要漏掉路徑。
- 中間變量和最終變量要分清。對 f 求偏導時，是對其直接自變量 u,v 求，而不是 x,y。
- 高階偏導數，如 ?2z/?x2，注意 ?z/?x 仍然是 x,y 的函數，對其求 x 的偏導時要再次使用鏈式法則。
隱函數求導公式的條件：F'_z ≠ 0。
極值充分條件的判別：AC-B2 的符號是關鍵。當 AC-B2=0 時，不能下結論，考試一般不會考這種情況的判斷，但要知道它是不確定的。
拉格朗日乘數法只是找到可能的極值點，其是否真是極值點、是極大還是極小，有時需要結合實際意義或更高階的條件判斷（考研一般不涉及）。對于有界閉區域上的最值問題，還需要比較邊界上的最值。
方向導數與梯度：
- 方向l必須是單位向量，如果不是，要先單位化。
- 梯度是一個向量，方向導數是一個數量。

六、多元函數積分學 (重積分、曲線積分、曲面積分 - Math I 重點)

(一) 重要結論與公式

二重積分：
- 性質：類似定積分性質 (線性、可加性、比較、中值等)。
- 計算：
  - 直角坐標：化為二次積分 (先x后y或先y后x)。關鍵是確定積分限。
  - 極坐標：?_D f(x,y)dxdy = ?_D' f(rcosθ, rsinθ) rdrdθ。 Jacobian r 不能丟。
  - 對稱性：
    - 若積分區域 D 關于y軸對稱，f(x,y) 關于x為奇函數 ? 積分為0；關于x為偶函數 ? 2倍一側。
    - 若積分區域 D 關于x軸對稱，f(x,y) 關于y為奇函數 ? 積分為0；關于y為偶函數 ? 2倍一側。
    - 若積分區域 D 關于原點對稱，f(x,y) 為奇函數 (即 f(-x,-y)=-f(x,y)) ? 積分為0；f(x,y) 為偶函數 (即 f(-x,-y)=f(x,y)) ? 不能直接簡化。
  - 輪換對稱性：若 D 關于 y=x 對稱，且 f(x,y)=f(y,x)，則 ?_D f(x,y)dxdy = 2?_{D?} f(x,y)dxdy (D?為D在y≤x的部分)。如果 f(x,y)=-f(y,x)，則積分為0。
三重積分：
- 計算：
  - 直角坐標：化為三次積分 (先一后二、先二后一)。投影法、切片法。
  - 柱面坐標：x=rcosθ, y=rsinθ, z=z。Jacobian r。
  - 球面坐標：x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ, z=ρcosφ。Jacobian ρ2sinφ。
- 對稱性：類似二重積分。
第一類曲線積分 (對弧長的曲線積分)：
- ∫_L f(x,y)ds 或 ∫_L f(x,y,z)ds。
- 計算：化為對參數 t (或 x,y,θ) 的定積分。ds = sqrt(x'(t)2 + y'(t)2)dt 或 sqrt(1+y'(x)2)dx 或 sqrt(r2(θ)+r'2(θ))dθ。
- 物理意義：變密度曲線的質量。
第二類曲線積分 (對坐標的曲線積分)：
- ∫_L P(x,y)dx + Q(x,y)dy 或 ∫_L Pdx + Qdy + Rdz。
- 計算：化為對參數 t 的定積分。dx = x'(t)dt, dy = y'(t)dt。
- 物理意義：變力沿曲線所做的功。
- 格林公式 (平面)：∮_L Pdx + Qdy = ?_D (?Q/?x - ?P/?y)dxdy。
  - 條件：L 為分段光滑的簡單閉曲線，正向。P,Q 在 D 及其邊界上有連續一階偏導數。
  - 應用：計算曲線積分、計算面積 (1/2)∮_L xdy - ydx。
  - 平面上曲線積分與路徑無關的條件 (等價)：
    1. ∮_L Pdx + Qdy = 0 對區域內任意閉路L。
    2. ∫_L Pdx + Qdy 與路徑無關，只與起止點有關。
    3. Pdx + Qdy 是某函數 u(x,y) 的全微分，即 ?u/?x = P, ?u/?y = Q。
    4. ?P/?y = ?Q/?x 在單連通區域內。
第一類曲面積分 (對面積的曲面積分)：
- ?_Σ f(x,y,z)dS。
- 計算：化為對投影區域 Dxy (或 Dyz, Dxz) 的二重積分。dS = sqrt(1 + (?z/?x)2 + (?z/?y)2)dxdy (若曲面為 z=z(x,y))。
- 物理意義：變密度曲面的質量。
第二類曲面積分 (對坐標的曲面積分，通量)：
- ?_Σ P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy。
- 計算：
  - 投影法：分別將三個分量投影到相應的坐標平面上，化為二重積分。注意取號(法向量與相應軸的夾角是銳角取正，鈍角取負)。
  - 參數法：若曲面有參數方程。
- 物理意義：向量場穿過曲面的通量。
- 高斯公式 (空間)：?_Σ P dydz + Q dzdx + R dxdy = ?_Ω (?P/?x + ?Q/?y + ?R/?z)dV。
  - 條件：Σ 為分段光滑的封閉曲面，外側。P,Q,R 在 Ω 及其邊界上有連續一階偏導數。
  - 應用：計算曲面積分、計算散度。
- 斯托克斯公式 (空間)：∮_Γ Pdx + Qdy + Rdz = ?_Σ (?R/?y - ?Q/?z)dydz + (?P/?z - ?R/?x)dzdx + (?Q/?x - ?P/?y)dxdy。
  - 即 ∮_Γ A·dr = ?_Σ rot(A)·dS (其中 A=(P,Q,R))。
  - 條件：Σ 是以空間閉曲線 Γ 為邊界的分片光滑的有向曲面，Γ 的方向與 Σ 的法向量方向符合右手規則。P,Q,R 有連續一階偏導數。
  - 應用：計算空間曲線積分、計算旋度。
  - 空間曲線積分與路徑無關的條件 (等價)：類似平面情況，增加 ?P/?z = ?R/?x, ?Q/?z = ?R/?y (即 rot A = 0)。

(二) 常見易錯點與注意事項

二重積分、三重積分的積分限確定：
- 畫圖是關鍵！準確畫出積分區域或積分體。
- 先一后二(或先二后一)的順序選擇有時會影響計算難度。
- 極坐標/柱面坐標/球面坐標的適用情形：區域或被積函數有 x2+y2 (極、柱)，x2+y2+z2 (球) 形式，或積分區域是圓、扇形、球、錐等。
- Jacobian行列式不要漏掉：r (極、柱)，ρ2sinφ (球)。
- 球面坐標中 φ (天頂角) 的范圍是 [0, π]，θ (方位角) 的范圍是 [0, 2π]。
對稱性的應用：
- 不僅要求積分區域對稱，還要看被積函數的奇偶性。
- 務必是關于某個軸或原點對稱，以及被積函數關于相應的變量有奇偶性。
曲線積分、曲面積分中 ds 和 dS 的計算：
- 公式要記準，不要混淆。
- 參數方程下的 ds, dS 要會求。
第二類曲線/曲面積分的方向問題：
- 曲線積分：曲線的始末方向。閉曲線的正向 (區域在左)。
- 曲面積分：曲面的法向量方向 (上側/下側，內側/外側)。投影法計算時，符號取決于法向量與投影面法向量(坐標軸方向)的夾角。
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的使用條件：
- 格林：平面、閉曲線、正向、偏導連續。
- 高斯：空間、閉曲面、外側、偏導連續。
- 斯托克斯：空間、開曲面、邊界曲線、方向符合右手螺旋、偏導連續。
- 如果條件不滿足 (如不是閉曲線/曲面)，可以嘗試“補線/面”再應用公式，然后減去補上線/面的積分。
與路徑無關的判斷：
- 平面：?P/?y = ?Q/?x，且區域是單連通的。
- 空間：rot A = 0 (即 ?Q/?x = ?P/?y, ?R/?y = ?Q/?z, ?P/?z = ?R/?x)，且區域是單連通的。
- 若與路徑無關，可以改道積分，選擇最簡單的路徑。
高斯公式和斯托克斯公式中旋度和散度的計算：
- 散度 div A = ?P/?x + ?Q/?y + ?R/?z (數量)。
- 旋度 rot A = (?R/?y - ?Q/?z, ?P/?z - ?R/?x, ?Q/?x - ?P/?y) (向量)。
“掏洞”問題：若格林公式或高斯公式的區域內有奇點 (偏導數不存在)，需要挖去奇點的小鄰域，在剩余區域用公式，再單獨處理小鄰域邊界上的積分。

七、無窮級數

(一) 重要結論與公式

級數收斂的必要條件：若 Σu_n 收斂，則 lim u_n = 0 (n→∞)。逆否命題：若 lim u_n ≠ 0 或極限不存在，則 Σu_n 發散。
正項級數斂散性判別法：
- 比較判別法：
  - 若 u_n ≤ v_n，Σv_n 收斂 ? Σu_n 收斂。
  - 若 u_n ≥ v_n ≥ 0，Σv_n 發散 ? Σu_n 發散。
- 比較判別法的極限形式：lim (u_n/v_n) = L (n→∞)。
  - 若 0 < L < +∞，則 Σu_n 與 Σv_n 同斂散。
  - 若 L=0 且 Σv_n 收斂 ? Σu_n 收斂。
  - 若 L=+∞ 且 Σv_n 發散 ? Σu_n 發散。
- 比值判別法 (達朗貝爾)：lim |u_(n+1)/u_n| = ρ。ρ<1 收斂，ρ>1 發散，ρ=1 失效。
- 根值判別法 (柯西)：lim sup |u_n|^(1/n) = ρ (或 lim |u_n|^(1/n) = ρ 若極限存在)。ρ<1 收斂，ρ>1 發散，ρ=1 失效。
- 積分判別法：若 f(x) 在 [1,+∞) 上非負、單調減，u_n = f(n)，則 Σu_n與∫[1,+∞) f(x)dx 同斂散。
- 常用比較級數：p-級數 Σ(1/n^p) (p>1收斂，p≤1發散)，幾何級數 Σaq^(n-1) (|q|<1收斂，|q|≥1發散)。
交錯級數與萊布尼茨判別法：
- Σ(-1)^(n-1)u_n (其中 u_n > 0)，若滿足：1) u_n 單調遞減；2) lim u_n = 0，則級數收斂。
絕對收斂與條件收斂：
- 若 Σ|u_n| 收斂，則稱 Σu_n 絕對收斂。絕對收斂一定收斂。
- 若 Σu_n 收斂，但 Σ|u_n| 發散，則稱 Σu_n 條件收斂。
冪級數 Σ a_n x^n：
- 收斂半徑 R：
  - R = lim |a_n / a_(n+1)| (n→∞) (若極限存在)。
  - R = 1 / (lim sup |a_n|^(1/n)) (n→∞) (柯西-阿達馬公式)。
- 收斂域：(-R, R) 內絕對收斂，|x|>R 發散，端點 x=±R 單獨討論。
冪級數的和函數性質 (在收斂域內)：
- 和函數 S(x) 連續。
- 可逐項求導：S'(x) = Σ na_n x^(n-1)，收斂半徑不變。
- 可逐項積分：∫[0,x] S(t)dt = Σ (a_n / (n+1)) x^(n+1)，收斂半徑不變。
函數展開成冪級數 (泰勒級數)：
- f(x) = Σ [f^(n)(x?)/n!] (x-x?)^n。
- 常用函數的麥克勞林級數 (見前面泰勒公式部分)。
- 將函數展開為冪級數的方法：
  1. 直接用泰勒級數定義 (求各階導數)。
  2. 利用已知函數的麥克勞林展開式進行代換、四則運算、逐項積分、逐項求導。
傅里葉級數 (Math I 專屬)：周期為 2π 的函數 f(x)
- f(x) ~ a?/2 + Σ[n=1,∞] (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))
- a? = (1/π)∫[-π,π] f(x)dx
- a_n = (1/π)∫[-π,π] f(x)cos(nx)dx
- b_n = (1/π)∫[-π,π] f(x)sin(nx)dx
- 若 f(x) 為奇函數，a_n=0 (包括a?)，為正弦級數。
- 若 f(x) 為偶函數，b_n=0，為余弦級數。
- 周期為 2L 的函數：將 nx 換成 nπx/L，積分區間換成 [-L,L]，系數分母 π 換成 L。
- 收斂定理 (狄利克雷)：若 f(x) 周期為 2L，在 [-L,L] 上分段單調或只有有限個極值點，且只有有限個第一類間斷點，則其傅里葉級數收斂，且：
  - 在連續點 x 處，和為 f(x)。
  - 在間斷點 x? 處，和為 (1/2)[f(x??) + f(x??)]。

(二) 常見易錯點與注意事項

必要條件的應用：lim u_n = 0 只是必要條件，不是充分條件 (如調和級數 Σ1/n 發散但 lim 1/n = 0)。
正項級數判別法的選擇：
- 一般先看通項是否趨于0。
- 通項含 n! 或 a^n (底數固定，指數為n) 時，優先考慮比值法。
- 通項含 u_n^v_n (底數指數都含n) 時，優先考慮根值法。
- 通項是有理分式或易于與 1/n^p 比較時，用比較判別法的極限形式。
- ρ=1 時，比值法和根值法失效，需用其他方法。
萊布尼茨判別法的條件：兩條都要滿足，尤其是單調遞減。
絕對收斂與條件收斂的判斷順序：一般先判斷絕對收斂性 (即 Σ|u_n| 是否收斂)。若絕對收斂，則原級數收斂。若 Σ|u_n| 發散，再看原級數是否滿足條件收斂的判別法 (如交錯級數的萊布尼茨判別法)。
冪級數收斂半徑的計算：
- 公式要記準，a_n 是 x^n 的系數。如果級數是 Σ a_n (x-x?)^n，收斂半徑不變，收斂中心是 x?。
- 如果冪級數缺項，不能直接用比值法求 a_n/a_(n+1)，要用柯西-阿達馬公式或轉化為不缺項的形式。
冪級數收斂域的端點討論：務必單獨代入 x=±R，判斷這兩個常數項級數的斂散性。
函數展開成冪級數：
- 注意展開點是哪里 (默認麥克勞林是 x?=0)。
- 利用已知展開式時，變量代換后的范圍要符合原展開式的收斂域。
- 逐項積分或求導，收斂半徑不變，但端點斂散性可能改變，有時需要重新討論新級數在端點的斂散性。
傅里葉級數系數的計算：
- a? 前面是 1/π (或 1/L)，和函數中是 a?/2。
- 奇偶性應用：可以簡化積分計算。奇函數在 [-L,L] 的積分為0，偶函數在 [-L,L] 的積分為 2 倍 [0,L] 的積分。
- 周期延拓：如果函數只在 [0,L] 定義，可以進行奇延拓或偶延拓到 [-L,L] 再展開。
- 收斂定理中，間斷點處的和函數值是左右極限的平均值。

八、常微分方程

(一) 重要結論與公式

基本概念：階、解、通解、特解、初始條件。
可分離變量的方程：dy/dx = f(x)g(y) ? dy/g(y) = f(x)dx。
齊次方程：dy/dx = φ(y/x)。令 u = y/x，則 y = ux, dy/dx = u + x(du/dx)，代入化為可分離變量方程。
一階線性微分方程：
- y' + P(x)y = Q(x)
- 通解公式：y = e^(-∫P(x)dx) [∫Q(x)e^(∫P(x)dx) dx + C]。
- 伯努利方程：y' + P(x)y = Q(x)y^n (n≠0,1)。令 z = y^(1-n)，化為關于z的一階線性方程。
可降階的二階方程：
- y'' = f(x)：直接積分兩次。
- y'' = f(x, y')：令 p = y'，則 y'' = p'，化為關于 p 的一階方程 p' = f(x,p)。
- y'' = f(y, y')：令 p = y'，則 y'' = p(dp/dy)，化為關于 p 作為 y 的函數的一階方程 p(dp/dy) = f(y,p)。
高階線性微分方程：
- 解的結構：
  - 齊次線性方程 y'' + p(x)y' + q(x)y = 0：若 y?(x), y?(x) 是其兩個線性無關的特解，則通解為 y = C?y?(x) + C?y?(x)。
  - 非齊次線性方程 y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)：通解 = 對應齊次方程通解 + 非齊次方程本身的一個特解 (Y = y_h + y_p)。
- 疊加原理：若 y*? 是 ... = f?(x) 的特解，y*? 是 ... = f?(x) 的特解，則 y*? + y*? 是 ... = f?(x) + f?(x) 的特解。
常系數齊次線性微分方程：y'' + py' + qy = 0 (p,q為常數)。
- 特征方程：r2 + pr + q = 0。
- 特征根與通解：
  1. 兩不等實根 r?, r? ? y = C?e^(r?x) + C?e^(r?x)。
  2. 兩相等實根 r? = r? = r ? y = (C? + C?x)e^(rx)。
  3. 一對共軛復根 α ± iβ ? y = e^(αx) (C?cos(βx) + C?sin(βx))。
常系數非齊次線性微分方程特解的求法 (待定系數法)：y'' + py' + qy = f(x)。
- 若 f(x) = P_m(x)e^(λx) (P_m(x)是m次多項式)：
  - 設特解 y_p = x^k Q_m(x)e^(λx) (Q_m(x)是m次待定多項式)。
  - k 的取值：
    - 若 λ 不是特征方程的根，k=0。
    - 若 λ 是特征方程的單根，k=1。
    - 若 λ 是特征方程的重根，k=2。
- 若 f(x) = e^(λx) [P_l(x)cos(ωx) + P_n(x)sin(ωx)] (P_l, P_n是l,n次多項式)：
  - 設特解 y_p = x^k e^(λx) [R_m(x)cos(ωx) + S_m(x)sin(ωx)] (R_m, S_m是m次待定多項式，m = max(l,n))。
  - k 的取值：
    - 若 λ ± iω 不是特征方程的根，k=0。
    - 若 λ ± iω 是特征方程的根，k=1。
歐拉方程 (Math I 專屬，較少考)：x2y'' + pxy' + qy = f(x) (p,q為常數)。
- 令 x = e^t (若x>0) 或 x = -e^t (若x<0)，即 t = ln|x|。
- 化為關于t的常系數線性微分方程。
- xy' = Dy (D=d/dt)
- x2y'' = D(D-1)y

(二) 常見易錯點與注意事項

可分離變量方程積分后：不要忘記加任意常數 C。
一階線性方程通解公式：
- e^(∫P(x)dx) 和 e^(-∫P(x)dx) 中的不定積分可以不加 C (會被最終的 C 吸收)。
- 公式容易記錯符號。
伯努利方程代換：z = y^(1-n)，求 z' 時不要出錯。
可降階方程中 y'' = p(dp/dy) 的使用：
- 適用于不顯含 x 的 y'' = f(y,y') 型。
- 積分后得到 p 關于 y 的關系，再代回 p=dy/dx 分離變量求解。
常系數齊次線性方程的特征根：
- 計算特征根要準確，特別是判別式 Δ = p2 - 4q 的情況。
- 共軛復根 α ± iβ 時，通解形式 e^(αx)(C?cos(βx) + C?sin(βx))，不要漏掉 e^(αx) 或把 α, β 弄混。
待定系數法求特解：
- k 的取值是關鍵，取決于 λ (或 λ±iω) 是否為特征根以及是幾重根。
- 如果 f(x) 是三角函數形式，特解必須同時包含 cos(ωx) 和 sin(ωx)，即使 f(x) 只含其中一項 (除非 λ=0 且特征根不含虛部，同時 ω 對應的虛根是0)。
- 多項式的次數要設對。
解的結構與疊加原理：
- 最終通解是齊次通解加非齊次特解。
- 如果右端 f(x) 是幾項之和，可以分別求對應各項的特解再相加。
初始條件的使用：代入通解確定任意常數 C (或 C?, C?)。如果是求特解，則代入時要注意把對應的齊次解也考慮進去。

第二部分：線性代數

一、行列式

(一) 重要結論與公式

行列式定義：n 階行列式是 n! 項的代數和，每項是不同行不同列元素的乘積，符號由列標排列的逆序數決定。
行列式性質：
- |A^T| = |A| (行列式轉置值不變)。
- 互換兩行(列)，行列式變號。
- 某行(列)有公因子 k，可提到行列式外。
- 若某行(列)元素全為0，則行列式為0。
- 若有兩行(列)元素成比例或相同，則行列式為0。
- 某行(列)的 k 倍加到另一行(列)上，行列式值不變 (最重要的性質，用于化簡計算)。
- 若某行(列)是兩數之和，可拆成兩個行列式之和。
行列式按行(列)展開定理：|A| = Σ a_ij A_ij (對任意行 i 或列 j，A_ij 是代數余子式)。
- Σ a_ik A_jk = 0 (i≠j) 或 Σ a_ki A_kj = 0 (i≠j) (某行元素與另一行對應元素的代數余子式乘積之和為0)。
特殊行列式：
- 上(下)三角形行列式 / 對角行列式：值等于主對角線元素之積。
- 范德蒙行列式：Π (x_j - x_i) (1 ≤ i < j ≤ n)。
- 分塊矩陣行列式：
  - | A O | = |A||D|| C D |
  - | A B | = |A||D|| O D |
  - | O A | = (-1)^(mn) |A||B| (A為m階，B為n階)| B O |
克拉默法則：若線性方程組 Ax=b 的系數行列式 |A| ≠ 0，則方程組有唯一解 x_j = |A_j| / |A| (A_j 是用 b 替換 A 的第 j 列得到的矩陣)。

(二) 常見易錯點與注意事項

行列式是一個數，矩陣是一個數表。
性質的應用：
- |kA| = k^n |A| (n是階數)，不要誤寫成 k|A|。
- 行列式某行(列)提取公因子 k，是提出一個 k；矩陣提取公因子 k，是每個元素都除以 k。
- 化三角形計算行列式時，互換行要變號。
按行(列)展開定理：
- 注意代數余子式 A_ij = (-1)^(i+j) M_ij 的符號。
- 異乘變零的性質在證明和計算中常用。
范德蒙行列式：注意行的形式，以及展開式的連乘順序，避免符號錯誤。
分塊矩陣行列式公式：注意副對角線分塊為零矩陣時的公式和條件。

二、矩陣

(一) 重要結論與公式

矩陣運算：加減、數乘、乘法。
- 矩陣乘法滿足結合律、分配律，不滿足交換律和消去律。
- (AB)^T = B^T A^T。 (A+B)^T = A^T + B^T。 (kA)^T = kA^T。
逆矩陣：
- 若 AB = BA = E，則 B 是 A 的逆矩陣，記為 A?1。
- A 可逆的充要條件是 |A| ≠ 0。
- A?1 = (1/|A|) A* (其中 A* 是伴隨矩陣)。
- 性質：(A?1)?1 = A，(AB)?1 = B?1A?1，(A^T)?1 = (A?1)^T，(kA)?1 = (1/k)A?1 (k≠0)。
伴隨矩陣 A*：由代數余子式 A_ji 構成的矩陣 (即 A_ij 放在 (j,i) 位置)。
- AA* = A*A = |A|E。
- |A*| = |A|^(n-1) (n為階數)。
- (A*)* = |A|^(n-2) A (n≥2)。
- 若 A 可逆，則 (A*)?1 = (A?1)* = (1/|A|) A。
矩陣的初等變換與初等矩陣：
- 初等行(列)變換：互換兩行(列) r_i ? r_j；某行(列)乘以非零數 k r_i；某行(列)的 k 倍加到另一行(列) r_i + k r_j。
- 初等矩陣：由單位矩陣經過一次初等變換得到。初等矩陣都可逆。
- 左乘初等矩陣相當于對該矩陣進行相應的初等行變換；右乘初等矩陣相當于進行相應的初等列變換。
- 任何可逆矩陣都可以表示為有限個初等矩陣的乘積。
矩陣的秩 r(A)：矩陣中非零子式的最高階數。
- r(A^T) = r(A)。
- 初等變換不改變矩陣的秩。
- r(A+B) ≤ r(A) + r(B)。
- r(AB) ≤ min(r(A), r(B))。
- 若 P,Q 可逆，則 r(PAQ) = r(A)。
- max(|r(A)-r(B)|) ≤ r(A±B)。
- 若 A 是 m×n 矩陣，則 r(A) ≤ min(m,n)。
- n 階方陣 A 可逆 ? r(A) = n (滿秩)。

(二) 常見易錯點與注意事項

矩陣乘法沒有交換律：AB ≠ BA 一般成立。
AB=O 不能推出 A=O 或 B=O。
AB=AC 且 A≠O 不能推出 B=C (除非A可逆)。
伴隨矩陣 A* 的定義：元素是代數余子式 A_ij，但放在 (j,i) 位置，即 A* = (A_ji)。
求逆矩陣的方法：
- 用公式 A?1 = (1/|A|) A* (適用于低階矩陣)。
- 用初等行變換 (A | E) → (E | A?1)。
矩陣的秩：
- 行階梯形矩陣中非零行的行數即為秩。
- 與向量組的秩、方程組解的判定緊密相關。
|AB| = |A||B|，但一般 |A+B| ≠ |A|+|B|。

三、向量

(一) 重要結論與公式

n維向量：n 個數組成的有序數組。行向量、列向量。
線性組合與線性表示：若 β = k?α? + k?α? + ... + k_sα_s，則稱 β 是向量組 α?, ..., α_s 的線性組合，或稱 β 可由 α?, ..., α_s 線性表示。
線性相關與線性無關：
- 若存在不全為零的數 k?, ..., k_s 使 k?α? + ... + k_sα_s = 0，則稱向量組 α?, ..., α_s 線性相關。否則稱線性無關。
- 判定：
  1. 向量組線性相關的充要條件是其中至少有一個向量可由其余向量線性表示。
  2. s 個 n 維向量 α?, ..., α_s 線性相關 ? 矩陣 A = (α?, ..., α_s) 的秩 r(A) < s。
  3. s 個 n 維向量 α?, ..., α_s 線性無關 ? 矩陣 A = (α?, ..., α_s) 的秩 r(A) = s。
  4. 若 s > n (向量個數 > 向量維數)，則向量組必線性相關。
  5. 含零向量的向量組必線性相關。
  6. 向量組的部分組線性相關，則整個向量組線性相關。
  7. 向量組線性無關，則其任何部分組都線性無關。
向量組的秩 r(α?, ..., α_s)：向量組中極大線性無關組所含向量的個數。
- r(α?, ..., α_s) = r(A)，其中 A 是以這些向量為列(或行)向量構成的矩陣。
極大線性無關組：向量組 α?, ..., α_s 的一個部分組 α_i?, ..., α_i_r 滿足：1) 自身線性無關；2) 原向量組中任一向量均可由該部分組線性表示。
向量空間 (Math I 專屬，了解概念)：
- 基：向量空間中一個極大線性無關組。
- 維數：基中所含向量的個數。
- 坐標：向量在某組基下的線性表示系數。
- 基變換與坐標變換公式：X = P Y (X為舊基下坐標，Y為新基下坐標，P為從舊基到新基的過渡矩陣)。
內積、長度(范數)、正交 (Math I 專屬)：
- 內積 (α, β) = α^T β = x?y? + ... + x_n y_n。
- 長度 ||α|| = sqrt((α,α))。
- α ⊥ β ? (α, β) = 0。
- 施密特正交化：將一組線性無關的向量 α?, ..., α_s 化為一組標準正交向量 ε?, ..., ε_s。
  - β? = α?
  - β? = α? - [(α?,β?)/(β?,β?)]β?
  - β? = α? - [(α?,β?)/(β?,β?)]β? - [(α?,β?)/(β?,β?)]β? ...
  - 單位化：ε_i = β_i / ||β_i||。

(二) 常見易錯點與注意事項

線性相關/無關的判定：
- 核心是 k?α? + ... + k_sα_s = 0 中系數是否全為0。
- 轉化為矩陣的秩來判斷是最常用的方法。
向量組的秩與矩陣的秩的聯系：要能靈活轉換。
極大線性無關組不唯一，但所含向量個數 (即秩) 唯一。
線性表示的唯一性：當向量組 α?, ..., α_s 線性無關時，任何可由它們線性表示的向量 β 的表示法是唯一的。
向量組等價：若向量組(I)可由向量組(II)線性表示，且向量組(II)也可由向量組(I)線性表示，則稱它們等價。等價的向量組有相同的秩。
施密特正交化：公式較復雜，計算要細心，特別是減去的投影項的系數。

四、線性方程組

(一) 重要結論與公式

克拉默法則 (見行列式部分)：僅適用于系數矩陣為方陣且行列式不為0的情況。
n元線性方程組 Ax=b 解的判定：
- 有解的充要條件：r(A) = r(A|b) (增廣矩陣的秩)。
  - 若 r(A) = r(A|b) = n (n為未知數個數)，則方程組有唯一解。
  - 若 r(A) = r(A|b) < n，則方程組有無窮多解。通解結構為 x = ξ? + k?η? + ... + k_(n-r)η_(n-r)，其中 ξ? 是一個特解，η?, ..., η_(n-r) 是對應齊次方程組 Ax=0 的一個基礎解系。
- 若 r(A) < r(A|b)，則方程組無解。
齊次線性方程組 Ax=0：
- 必有零解。
- 有非零解的充要條件：r(A) < n。
- 基礎解系：齊次方程組解空間的一組基。所含向量個數為 n - r(A)。
非齊次線性方程組解的結構：
- 若 ξ?, ξ? 是 Ax=b 的兩個解，則 ξ? - ξ? 是 Ax=0 的解。
- 若 ξ? 是 Ax=b 的一個特解，η 是 Ax=0 的解，則 ξ? + η 也是 Ax=b 的解。

(二) 常見易錯點與注意事項

判斷解的情況：核心是比較 r(A) 和 r(A|b) 以及未知數個數 n。
求基礎解系：
- 對系數矩陣 A 進行初等行變換化為行階梯形。
- 找出自由未知量 (個數為 n-r(A))。
- 分別令一個自由未知量為1，其余為0，解出對應的基礎解系向量。
求非齊次方程組的特解：
- 通常在化簡增廣矩陣 (A|b) 的過程中得到。令自由未知量為0，解出主元。
寫通解時：不要漏掉特解或齊次通解部分，自由未知量的系數 k_i 要寫上。
Ax=0 有非零解 ? |A|=0 (當A為方陣時)。這是非常重要的等價條件。

五、特征值與特征向量

(一) 重要結論與公式

定義：若 Aξ = λξ (ξ≠0)，則 λ 是方陣 A 的特征值，ξ 是對應于 λ 的特征向量。
特征方程：|A - λE| = 0。解此方程得到特征值。
特征向量的求解：對每個特征值 λ?，解齊次線性方程組 (A - λ?E)x = 0，其非零解即為對應于 λ? 的特征向量。基礎解系構成特征向量空間的基。
性質：
- Σ λ_i = Σ a_ii = tr(A) (特征值之和等于矩陣的跡)。
- Π λ_i = |A| (特征值之積等于行列式)。
- 若 λ 是 A 的特征值，則：
  - kλ 是 kA 的特征值。
  - λ^m 是 A^m 的特征值。
  - φ(λ) 是 φ(A) 的特征值 (其中 φ(A) 是A的多項式)。
  - 1/λ 是 A?1 的特征值 (若A可逆，λ≠0)。
  - λ 是 A^T 的特征值。
  - 對應的特征向量不變 (除了 A^T 可能不同)。
- 不同特征值對應的特征向量線性無關。
- 若 k 重特征根，則對應線性無關的特征向量個數 ≤ k。
相似矩陣：若存在可逆矩陣 P 使 P?1AP = B，則稱 A 與 B 相似，記為 A ~ B。
- 相似矩陣有相同的特征多項式、特征值、行列式、跡、秩。
- 若 A ~ Λ (Λ為對角陣)，則稱 A 可對角化。Λ的主對角元是A的特征值。
矩陣可對角化的充要條件：
- n 階方陣 A 有 n 個線性無關的特征向量。
- 對每個 k_i 重特征根，恰有 k_i 個線性無關的特征向量 (即特征子空間的維數等于特征值的重數)。
- 充分條件：若 n 階方陣 A 有 n 個互不相同的特征值，則 A 必可對角化。
實對稱矩陣的對角化：
- 實對稱矩陣的特征值必為實數。
- 實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量必正交。
- 實對稱矩陣必可相似對角化，且存在正交矩陣 Q (即 Q?1 = Q^T) 使 Q^T A Q = Q?1 A Q = Λ (Λ為對角陣)。
- 求正交矩陣 Q：對每個特征值求出特征向量，若有重根，則對應的特征向量要做施密特正交化，然后單位化所有特征向量，按列排成 Q。

(二) 常見易錯點與注意事項

特征向量 ξ 必須是非零向量。
計算特征值：解特征方程 |A-λE|=0 時，行列式計算不要出錯。
求解特征向量：解齊次方程組 (A-λE)x=0，得到的是基礎解系，任意非零線性組合都是特征向量。一般寫基礎解系。
相似不一定等價，等價不一定相似 (等價是 PAQ=B，P,Q可逆；秩是唯一不變量)。
判斷可對角化：
- 關鍵看線性無關特征向量的個數是否等于矩陣的階數。
- 對于重根，要檢驗其對應線性無關特征向量的個數。
實對稱矩陣：
- 其對角化是重點，必可用正交矩陣對角化。
- 不同特征值對應的特征向量已正交，相同特征值對應的線性無關特征向量需要進行施密特正交化，再單位化。

六、二次型

(一) 重要結論與公式

二次型及其矩陣表示：f(x?, ..., x_n) = X^T A X，其中 A 是實對稱矩陣。
合同變換：用可逆線性變換 X = CY 代入二次型 X^T A X，得到 Y^T (C^T A C) Y。稱 A 與 B = C^T A C 合同。
- 合同變換不改變二次型的秩和正(負)慣性指數。
化二次型為標準形 (平方和)：
- 配方法。
- 正交變換法：對實對稱矩陣 A，求正交矩陣 Q 使 Q^T A Q = Λ (對角陣，對角元為特征值)。令 X = QY，則 X^T A X = Y^T Λ Y = λ?y?2 + ... + λ_n y_n2。
慣性定理：二次型化為標準形不唯一，但標準形中正項個數 (正慣性指數 p)、負項個數 (負慣性指數 q) 是唯一的。秩 r = p+q。
正定二次型 (或正定矩陣)：
- 定義：對任意非零向量 X，都有 X^T A X > 0。
- 判別：
  1. A 的所有特征值均大于0。
  2. A 的所有順序主子式均大于0。
  3. A 合同于單位矩陣 E (即標準形中 p=n, q=0)。
- 負定：所有特征值 < 0；所有奇數階順序主子式 < 0，偶數階順序主子式 > 0。
- 半正定：所有特征值 ≥ 0；所有主子式 ≥ 0 (順序主子式 ≥ 0 不足以判別半正定)。

(二) 常見易錯點與注意事項

二次型的矩陣 A 必須是對稱矩陣。如果題目給出非對稱形式，先化為對稱形式 (如 2x?x? 對應矩陣元素 a??=a??=1)。
配方法：
- 優先配含平方項的。若無平方項，做輔助變換如 x?=y?-y?, x?=y?+y? 產生平方項。
- 每次配完一個變量的平方項后，剩余部分不能再含有該變量。
正交變換法：得到的標準形系數是特征值，變換矩陣 X=QY 中的 Q 是由單位正交特征向量構成的。
判斷正定性：
- 順序主子式是從左上角開始取的 1×1, 2×2, ..., n×n 子式。
- 特征值法是最根本的方法。
- 不要把正定和行列式大于0混淆 (行列式大于0只是必要非充分條件，除非低階)。
標準形和規范形：標準形是 Σd_i y_i2，規范形是 Σy_i2 - Σy_j2 (系數為±1,0)。

第三部分：概率論與數理統計

一、隨機事件與概率

(一) 重要結論與公式

事件關系與運算：包含、相等、和、積、差、互不相容(互斥)、對立(互逆)。
- 德摩根律：(A∪B)? = A?∩B?，(A∩B)? = A?∪B?。
概率性質：
- 0 ≤ P(A) ≤ 1。P(?) = 0，P(Ω) = 1。
- 有限可加性：若 A?, ..., A_n 互不相容，則 P(∪A_i) = ΣP(A_i)。
- P(A?) = 1 - P(A)。
- 減法公式：P(A-B) = P(A) - P(AB)。
- 加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)。P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC)。
條件概率：P(B|A) = P(AB) / P(A) (其中 P(A)>0)。
- 乘法公式：P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)。P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)。
全概率公式：若 B?, ..., B_n 是樣本空間的一個劃分且 P(B_i)>0，則對任意事件A，P(A) = Σ P(B_i)P(A|B_i)。
貝葉斯公式 (逆概公式)：P(B_j|A) = [P(B_j)P(A|B_j)] / [Σ P(B_i)P(A|B_i)]。
事件的獨立性：
- A,B 獨立 ? P(AB) = P(A)P(B)。
- 若 A,B 獨立，則 A與B?，A?與B，A?與B?均獨立。
- A,B,C 兩兩獨立不一定相互獨立。
- A,B,C 相互獨立 ? P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。
n重伯努利試驗 (獨立重復試驗)：
- 事件A在n次試驗中發生k次的概率：P_n(k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k) (其中p為單次試驗A發生的概率)。

(二) 常見易錯點與注意事項

互不相容與相互獨立：
- 互不相容：AB = ?，P(AB) = 0。
- 相互獨立：P(AB) = P(A)P(B)。
- 若 P(A)>0, P(B)>0，則互不相容與相互獨立不能同時成立。
條件概率的理解：P(B|A) 是在A發生的條件下B發生的概率，樣本空間縮小為A。
全概率公式與貝葉斯公式的應用場景：
- 全概率：求最終結果的概率 (分階段或按原因)。
- 貝葉斯：已知結果，求某個原因的概率 (執果索因)。
事件獨立性的判斷：嚴格用定義 P(AB)=P(A)P(B)，不能想當然。
古典概型與幾何概型：
- 古典概型：樣本點有限、等可能性。
- 幾何概型：無限樣本點、等可能性 (長度、面積、體積)。

二、一維隨機變量及其分布

(一) 重要結論與公式

分布函數 F(x) = P(X ≤ x)：
- 性質：1) 0 ≤ F(x) ≤ 1；2) F(x) 單調不減；3) F(-∞)=0, F(+∞)=1；4) 右連續。
- P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)。
- P(X = a) = F(a) - F(a?) (分布函數在a點的左跳躍值)。
離散型隨機變量：分布列 P(X=x_k) = p_k。Σp_k=1, p_k≥0。
連續型隨機變量：概率密度函數 f(x)。
- 性質：1) f(x) ≥ 0；2) ∫[-∞,+∞] f(x)dx = 1。
- F(x) = ∫[-∞,x] f(t)dt。f(x) = F'(x) (在f(x)連續點處)。
- P(a < X ≤ b) = ∫[a,b] f(x)dx。
- P(X=a) = 0 對于連續型隨機變量。
常見分布：
- 0-1分布 (伯努利分布) X~B(1,p)：P(X=k) = p^k(1-p)^(1-k) (k=0,1)。E(X)=p, D(X)=p(1-p)。
- 二項分布 X~B(n,p)：P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。E(X)=np, D(X)=np(1-p)。
- 泊松分布 X~P(λ)：P(X=k) = (λ^k e^(-λ)) / k!。E(X)=λ, D(X)=λ。(泊松定理：當n很大，p很小，np=λ適中時，二項分布近似泊松分布)。
- 幾何分布 X~G(p)：首次成功在第k次試驗，P(X=k) = (1-p)^(k-1)p。E(X)=1/p, D(X)=(1-p)/p2。
- 均勻分布 X~U(a,b)：f(x) = 1/(b-a) for a<x<b, else 0。E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12。
- 指數分布 X~E(λ)：f(x) = λe^(-λx) for x>0, else 0。E(X)=1/λ, D(X)=1/λ2。 (具有無記憶性)
- 正態分布 (高斯分布) X~N(μ,σ2)：f(x) = (1/(sqrt(2π)σ)) e^(-(x-μ)2/(2σ2))。E(X)=μ, D(X)=σ2。
  - 標準正態分布 Z~N(0,1)：Φ(z) = P(Z≤z)。φ(z)為其密度。
  - X~N(μ,σ2) ? (X-μ)/σ ~ N(0,1)。
  - Φ(-a) = 1 - Φ(a)。
隨機變量函數的分布：
- 若 Y=g(X)，
  - 離散型：直接根據X的取值和g的對應關系求Y的分布列。
  - 連續型：
    1. 分布函數法 (最通用)：F_Y(y) = P(Y≤y) = P(g(X)≤y)，轉化為關于X的概率，再用X的分布函數或密度函數表示。然后 f_Y(y) = F'_Y(y)。
    2. 公式法 (若 g(x) 嚴格單調可導，反函數為 h(y))：f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)|。

(二) 常見易錯點與注意事項

分布函數與概率密度的關系：F(x)是概率，f(x)是密度，不是概率。
分布函數的性質：右連續，單調不減，界限0和1。
概率密度函數的性質：非負，積分為1。
常見分布的參數意義、期望、方差要記牢。
正態分布的標準化：P(X≤a) = P((X-μ)/σ ≤ (a-μ)/σ) = Φ((a-μ)/σ)。查表或利用對稱性。
隨機變量函數分布的求解：
- 分布函數法中，P(g(X)≤y) 轉化為 P(X ∈ {x|g(x)≤y}) 時，解不等式 g(x)≤y 是關鍵，要考慮 g(x) 的單調性。
- 公式法 f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)|，別忘了絕對值 |h'(y)|。

三、多維隨機變量及其分布 (二維為主)

(一) 重要結論與公式

聯合分布函數 F(x,y) = P(X≤x, Y≤y)。
- 性質類似一維，但對每個變量單調不減、右連續。F(-∞,y)=F(x,-∞)=0, F(+∞,+∞)=1。
- P(x?<X≤x?, y?<Y≤y?) = F(x?,y?) - F(x?,y?) - F(x?,y?) + F(x?,y?)。
聯合分布列 (離散型) P(X=x_i, Y=y_j) = p_ij。 ΣΣp_ij=1, p_ij≥0。
聯合概率密度 (連續型) f(x,y)。
- 性質：1) f(x,y) ≥ 0；2) ? f(x,y)dxdy = 1 (積分為全平面)。
- F(x,y) = ∫[-∞,x]∫[-∞,y] f(u,v)dvdu。
- f(x,y) = ?2F(x,y) / (?x?y) (在連續點)。
- P((X,Y)∈D) = ?_D f(x,y)dxdy。
邊緣分布：
- 邊緣分布函數：F_X(x) = F(x,+∞)，F_Y(y) = F(+∞,y)。
- 邊緣分布列 (離散)：p_i· = P(X=x_i) = Σ_j p_ij，p·_j = P(Y=y_j) = Σ_i p_ij。
- 邊緣概率密度 (連續)：f_X(x) = ∫[-∞,+∞] f(x,y)dy，f_Y(y) = ∫[-∞,+∞] f(x,y)dx。
條件分布：
- 離散型：P(X=x_i | Y=y_j) = p_ij / p·_j (若p·_j > 0)。
- 連續型：f_{X|Y}(x|y) = f(x,y) / f_Y(y) (若f_Y(y) > 0)。
隨機變量的獨立性：
- F(x,y) = F_X(x)F_Y(y) ? X,Y 獨立。
- 離散型：p_ij = p_i· p·_j 對所有 i,j ? X,Y 獨立。
- 連續型：f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) (幾乎處處) ? X,Y 獨立。(若聯合密度可分離變量且積分限互不依賴，則獨立)。
二維隨機變量函數的分布：Z=g(X,Y)。
- 離散型：列出(X,Y)所有取值，計算對應Z的取值和概率。
- 連續型：
  - Z = X+Y：卷積公式 f_Z(z) = ∫[-∞,+∞] f_X(x)f_Y(z-x)dx (若X,Y獨立)。
  - M = max(X,Y), N = min(X,Y) (若X,Y獨立)：
    - F_M(z) = P(max(X,Y)≤z) = P(X≤z, Y≤z) = F_X(z)F_Y(z)。
    - F_N(z) = P(min(X,Y)≤z) = 1 - P(min(X,Y)>z) = 1 - P(X>z, Y>z) = 1 - [1-F_X(z)][1-F_Y(z)]。
常見二維分布：
- 二維均勻分布：在區域D上 f(x,y) = 1/S_D (S_D為D的面積)。
- 二維正態分布 (X,Y)~N(μ?,μ?,σ?2,σ?2,ρ)：
  - 邊緣分布仍為正態：X~N(μ?,σ?2), Y~N(μ?,σ?2)。
  - X,Y 獨立的充要條件是 ρ=0 (僅對正態分布成立)。

(二) 常見易錯點與注意事項

聯合分布函數的性質和計算 P(x?<X≤x?, y?<Y≤y?) 的公式要準確。
邊緣密度是對另一個變量在整個取值范圍積分，積分限不要搞錯。
條件密度的分母是邊緣密度，不能為0。
判斷獨立性：
- f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) 是充要條件。
- 若聯合密度 f(x,y) 可寫成 g(x)h(y) 形式，且 x,y 的取值范圍是矩形區域 (即x的范圍與y無關，y的范圍與x無關)，則X,Y獨立。
卷積公式：
- 僅當X,Y獨立時使用。
- 積分變量是x，z-x 是代入 f_Y 的變量。積分限由 f_X(x) 和 f_Y(z-x) 的非零區域共同決定。
max/min 函數的分布函數法是關鍵。

四、隨機變量的數字特征

(一) 重要結論與公式

數學期望 (均值) E(X)：
- 離散型：E(X) = Σ x_k p_k。
- 連續型：E(X) = ∫[-∞,+∞] xf(x)dx。
- 性質：
  - E(C) = C (C為常數)。
  - E(CX) = CE(X)。
  - E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
  - 若 X,Y 獨立，則 E(XY) = E(X)E(Y) (反之不一定成立)。
- 函數期望：E(g(X)) = Σ g(x_k)p_k 或 ∫g(x)f(x)dx。E(g(X,Y)) = ΣΣg(x_i,y_j)p_ij 或 ?g(x,y)f(x,y)dxdy。
方差 D(X) 或 Var(X)：D(X) = E[ (X - E(X))2 ] = E(X2) - [E(X)]2。
- 性質：
  - D(C) = 0。
  - D(CX) = C2D(X)。
  - D(X+C) = D(X)。
  - D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)。
  - 若 X,Y 獨立，則 D(X±Y) = D(X) + D(Y)。
- 標準差 σ(X) = sqrt(D(X))。
- 切比雪夫不等式：對任意 ε > 0，P(|X-E(X)| ≥ ε) ≤ D(X)/ε2 或 P(|X-E(X)| < ε) ≥ 1 - D(X)/ε2。
協方差 Cov(X,Y)：Cov(X,Y) = E[ (X-E(X))(Y-E(Y)) ] = E(XY) - E(X)E(Y)。
- 性質：
  - Cov(X,Y) = Cov(Y,X)。
  - Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)。
  - Cov(X?+X?, Y) = Cov(X?,Y) + Cov(X?,Y)。
  - Cov(X,C) = 0。
  - D(X) = Cov(X,X)。
  - D(X±Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(X,Y)。
相關系數 ρ_XY：ρ_XY = Cov(X,Y) / (sqrt(D(X))sqrt(D(Y)))。
- 性質：
  - |ρ_XY| ≤ 1。
  - |ρ_XY| = 1 ? X,Y 存在線性關系 Y=aX+b (a≠0) 幾乎必然成立。a>0時ρ=1，a<0時ρ=-1。
  - 若 X,Y 獨立 ? Cov(X,Y)=0 ? ρ_XY=0 (X,Y不相關)。反之不一定成立。
  - 但對于二維正態分布，ρ_XY=0 ? X,Y 獨立。
矩：
- k階原點矩：E(X^k)。
- k階中心矩：E[ (X-E(X))^k ]。
- 協方差是X和Y的二階混合中心矩。
重要分布的期望和方差 (見一維隨機變量部分)。

(二) 常見易錯點與注意事項

E(XY) = E(X)E(Y) 僅在X,Y獨立時成立。不相關時 E(XY) 不一定等于 E(X)E(Y) (除非 Cov(X,Y)=0 定義如此)。
D(X±Y) = D(X) + D(Y) 僅在X,Y獨立 (或不相關) 時成立。一般要加/減 2Cov(X,Y)。
D(CX) = C2D(X)，平方不要漏。
相關系數 ρ_XY = 0 只表示X,Y不相關 (無線性關系)，不代表它們一定獨立。除非是二維正態分布。
計算 E(g(X,Y)) 或 Cov(X,Y) 時，如果X,Y不獨立，必須用聯合分布。
方差的計算公式 E(X2) - [E(X)]2 更常用。

五、大數定律與中心極限定理

(一) 重要結論與公式

大數定律 (依概率收斂)：描述了大量隨機現象平均結果的穩定性。
- 切比雪夫大數定律 (較弱，但條件寬)：若隨機變量序列 X?, X?, ... 相互獨立 (或不相關)，方差存在且一致有上界 (D(X_i)≤C)，則 (1/n)ΣX_i 依概率收斂于 (1/n)ΣE(X_i)。特別地，若 E(X_i)=μ, D(X_i)=σ2 (同分布或期望方差相同)，則 X? = (1/n)ΣX_i 依概率收斂于 μ。
- 伯努利大數定律：f_n = n_A/n (n次獨立重復試驗中事件A發生的頻率) 依概率收斂于 p = P(A)。
- 辛欽大數定律 (條件更強，結論更常用)：若 X?, X?, ... 獨立同分布且期望 E(X_i)=μ 存在，則 X? 依概率收斂于 μ。
中心極限定理 (按分布收斂)：描述了大量獨立隨機變量之和的分布近似于正態分布。
- 林德伯格-列維中心極限定理 (獨立同分布)：若 X?, X?, ... 獨立同分布，E(X_i)=μ, D(X_i)=σ2>0，則當n充分大時，Z_n = (ΣX_i - nμ) / (sqrt(n)σ) = (X? - μ) / (σ/sqrt(n)) 近似服從標準正態分布 N(0,1)。即 ΣX_i 近似服從 N(nμ, nσ2)，X? 近似服從 N(μ, σ2/n)。
- 棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理 (二項分布的正態近似)：若 Y_n ~ B(n,p)，則當n充分大時，Z_n = (Y_n - np) / sqrt(np(1-p)) 近似服從 N(0,1)。(通常要求 np≥5 且 n(1-p)≥5)

(二) 常見易錯點與注意事項

大數定律是依概率收斂，即 P(|X?_n - μ| < ε) → 1 (n→∞)。
中心極限定理是按分布收斂，即 X?_n (或和) 的分布函數逼近正態分布的分布函數。
使用中心極限定理時：
- 看清是求和 ΣX_i 的近似分布還是均值 X? 的近似分布，對應的期望和方差不同。
- 標準化過程 (變量 - 期望) / 標準差 要正確。
- 如果是二項分布近似，μ=np, σ2=np(1-p)。
中心極限定理的條件是n充分大，題目中會暗示或直接說明。

六、數理統計的基本概念

(一) 重要結論與公式

總體與樣本：
- 總體：研究對象的全體。
- 個體：總體中的每個成員。
- 樣本 (X?, ..., X_n)：從總體中抽取的n個個體。
- 簡單隨機樣本：要求樣本中各 X_i 相互獨立且與總體 X同分布 (IID)。
- 樣本值 (x?, ..., x_n)：樣本的一次觀測結果。
統計量：不含任何未知參數的樣本的函數。如樣本均值、樣本方差、樣本k階原點矩等。
- 樣本均值：X? = (1/n)ΣX_i。
- 樣本方差：S2 = (1/(n-1))Σ(X_i - X?)2 = (1/(n-1))[ΣX_i2 - n(X?)2]。
- 樣本標準差：S = sqrt(S2)。
- 樣本k階(原點)矩：A_k = (1/n)ΣX_i^k。
- 樣本k階中心矩：B_k = (1/n)Σ(X_i - X?)^k。
常用統計量的性質 (基于IID樣本)：
- E(X?) = E(X) = μ。
- D(X?) = D(X)/n = σ2/n。
- E(S2) = D(X) = σ2 (S2是總體方差的無偏估計)。
- E(A_k) = E(X^k) (k階樣本原點矩是k階總體原點矩的無偏估計)。
三大抽樣分布 (正態總體)：
- χ2分布 (卡方分布)：若 X?, ..., X_n 獨立同服從 N(0,1)，則 ΣX_i2 ~ χ2(n) (自由度為n)。
  - 性質：1) E(χ2(n)) = n, D(χ2(n)) = 2n。 2) 可加性：若 U~χ2(n?), V~χ2(n?) 且U,V獨立，則 U+V ~ χ2(n?+n?)。
  - 重要結論：設樣本 (X?,...,X_n) 來自正態總體 N(μ,σ2)，
    - (n-1)S2/σ2 ~ χ2(n-1)。
    - X? 與 S2 相互獨立。
- t分布 (學生分布)：若 X~N(0,1), Y~χ2(n) 且X,Y獨立，則 T = X / sqrt(Y/n) ~ t(n)。
  - 性質：關于y軸對稱，E(T)=0 (n>1)，D(T)=n/(n-2) (n>2)。當n充分大時，t分布近似N(0,1)。
  - 重要結論：設樣本 (X?,...,X_n) 來自正態總體 N(μ,σ2)，
    - (X? - μ) / (S/sqrt(n)) ~ t(n-1)。
- F分布：若 U~χ2(n?), V~χ2(n?) 且U,V獨立，則 F = (U/n?) / (V/n?) ~ F(n?,n?) (第一自由度n?, 第二自由度n?)。
  - 性質：若 F ~ F(n?,n?)，則 1/F ~ F(n?,n?)。F_(1-α)(n?,n?) = 1 / F_α(n?,n?)。
  - 重要結論：設兩獨立樣本分別來自正態總體 N(μ?,σ?2) 和 N(μ?,σ?2)，樣本方差為 S?2, S?2，
    - (S?2/σ?2) / (S?2/σ?2) ~ F(n?-1, n?-1)。

(二) 常見易錯點與注意事項

樣本方差 S2 的分母是 n-1，不是 n。(1/n)Σ(X_i - X?)2 不是總體方差的無偏估計。
E(S2) = σ2，但 E(S) ≠ σ。
三大抽樣分布的構造條件和自由度要記準確。
- χ2 分布：標準正態的平方和。(n-1)S2/σ2 的自由度是 n-1。
- t 分布：標準正態 / (開根號的卡方除以其自由度)。(X?-μ)/(S/√n) 的自由度是 n-1。
- F 分布：兩個獨立的卡方變量分別除以其自由度后的比值。(S?2/σ?2)/(S?2/σ?2) 的自由度是 (n?-1, n?-1)。
X? 與 S2 的獨立性是正態總體的重要性質，在構造統計量時常用。

七、參數估計

(一) 重要結論與公式

點估計：用樣本構造一個統計量來估計總體未知參數。
- 矩估計法：用樣本矩估計總體矩，再解出參數的估計。
  - 常用：X? 估計 μ；A? = (1/n)ΣX_i2 估計 E(X2)。
  - 若估計 θ，則令總體k階矩 (含θ) = 樣本k階矩，解出 θ。
- 最大似然估計法 (MLE)：
  1. 寫出似然函數 L(θ) = Π f(x_i; θ) (離散型是 Π P(X=x_i; θ))。
  2. 取對數 ln L(θ)。
  3. 令 d(ln L(θ))/dθ = 0 (或對多個參數求偏導等于0)，解出 θ 的估計值 θ?。
  4. (有時需要驗證是極大值點)。
估計量的評價標準：
- 無偏性：E(θ?) = θ。
- 有效性 (最小方差性)：在所有無偏估計中，D(θ?) 最小。
- 一致性 (相合性)：θ? 依概率收斂于 θ。
區間估計 (正態總體)：
- 單個總體 N(μ,σ2)：
  - μ的區間估計：
    - σ2 已知：用 Z = (X?-μ)/(σ/√n) ~ N(0,1) 構造。
    - σ2 未知：用 T = (X?-μ)/(S/√n) ~ t(n-1) 構造。
  - σ2的區間估計：用 χ2 = (n-1)S2/σ2 ~ χ2(n-1) 構造。
- 兩個總體 N(μ?,σ?2) 和 N(μ?,σ?2)，獨立樣本：
  - μ?-μ?的區間估計：
    - σ?2, σ?2 均已知：用Z統計量。
    - σ?2, σ?2 均未知但相等 (σ?2=σ?2=σ2)：用T統計量，合并方差 S_w2 = [(n?-1)S?2 + (n?-1)S?2] / (n?+n?-2)。
    - σ?2, σ?2 均未知且不一定相等：近似t分布 (較復雜，考研一般不涉及)。
  - σ?2/σ?2的區間估計：用 F = (S?2/σ?2) / (S?2/σ?2) ~ F(n?-1, n?-1) 構造。

(二) 常見易錯點與注意事項

矩估計法：
- 是用樣本矩估計總體矩，不是直接用樣本值去湊。
- 一階矩 E(X) 用 X? 估計，二階原點矩 E(X2) 用 A?=(1/n)ΣX_i2 估計。
最大似然估計法：
- 似然函數是樣本聯合密度(或概率)函數，看成參數 θ 的函數。
- 求導后解方程，可能需要討論參數的取值范圍。
- 如果參數的取值范圍依賴于樣本 (如均勻分布 U(0,θ) 的 θ 必須大于等于 max(X_i))，那么導數可能無法直接給出最大值點，需要結合單調性在邊界處取值。
無偏性判斷：E(X?)=μ，E(S2)=σ2。注意 S2 的分母是 n-1 才無偏。
區間估計的樞軸量選擇：
- 樞軸量的分布不能依賴未知參數。
- 根據已知條件 (如 σ2 是否已知) 選擇正確的統計量 (Z, T, χ2, F)。
- 查分位數表時注意自由度和概率 α/2 或 1-α/2。

八、假設檢驗 (Math I 了解基本思想和單個正態總體的檢驗)

(一) 重要結論與公式 (主要針對正態總體參數的檢驗)

基本思想：小概率原理。先假設原假設 H? 成立，如果根據樣本觀測值計算出的檢驗統計量的值落入了拒絕域 (即發生了小概率事件)，則拒絕 H?，否則接受 H?。
兩類錯誤：
- 第一類錯誤 (棄真)：H? 為真但被拒絕。P(第一類錯誤) = α (顯著性水平)。
- 第二類錯誤 (取偽)：H? 為假但被接受。P(第二類錯誤) = β。
檢驗步驟：
1. 提出原假設 H? 和備擇假設 H?。
2. 選擇檢驗統計量，并確定在 H? 為真時的抽樣分布。
3. 給定顯著性水平 α，確定拒絕域的臨界值。
4. 根據樣本值計算檢驗統計量的觀測值。
5. 作出判斷：若觀測值落入拒絕域，則拒絕 H?；否則接受 H?。
單個正態總體 N(μ,σ2) 參數的檢驗：
- μ的檢驗 (Z檢驗或t檢驗)：
  - H?: μ = μ?
  - σ2 已知：檢驗統計量 Z = (X?-μ?)/(σ/√n) ~ N(0,1)。
  - σ2 未知：檢驗統計量 T = (X?-μ?)/(S/√n) ~ t(n-1)。
  - 拒絕域根據 H? 的形式 (雙邊、左邊、右邊) 確定。
- σ2的檢驗 (χ2檢驗)：
  - H?: σ2 = σ?2
  - 檢驗統計量 χ2 = (n-1)S2/σ?2 ~ χ2(n-1)。
  - 拒絕域根據 H? 的形式確定。

(二) 常見易錯點與注意事項

原假設 H? 通常是被保護、希望推翻的假設，或者等號總在原假設中。
顯著性水平 α 是犯第一類錯誤的最大概率，是事先給定的。
根據備擇假設 H? 的形式確定是雙邊檢驗還是單邊檢驗，從而確定拒絕域。
- H?: μ ≠ μ? ? 雙邊，拒絕域在兩側，每側概率 α/2。
- H?: μ > μ? ? 右邊，拒絕域在右側，概率 α。
- H?: μ < μ? ? 左邊，拒絕域在左側，概率 α。
不要把“接受H?”等同于“H?為真”，只是證據不足以拒絕它。
p值法：若p值 < α，則拒絕H?。p值是當H?為真時，得到現有樣本觀測結果或更極端結果的概率。(考研較少直接要求計算p值，但理解其思想有益)。