正態分布習題集 · 答案與解析篇

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1. 基礎定義與性質

1.1 密度函數

$X～N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的 PDF：
[
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma2}\right), \quad x \in \mathbb{R}
]
參數含義：

• $\mu$：均值（分布中心）
• ${\sigma }^2$：方差（分布寬度/離散程度）

1.2 標準正態變換

變換：$Z=\frac{X?\mu }{\sigma }$

證明 $Z～N(0,1)$：采用變量變換公式
[
f_Z(z) = f_X(x) \left|\frac{dx}{dz}\right| = f_X(\mu + \sigma z) \cdot \sigma
]
代入 $X$ 的 PDF 得
[
f_Z(z) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(\mu + \sigma z - \mu)^2}{2\sigma2}\right) \cdot \sigma
= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)
]
這正是 $N(0,1)$ 的 PDF，證畢。

1.3 主要性質

性質	表達式
期望值	$E[X]=\mu$
方差	$\text{Var}(X)={\sigma }^2$
偏度	0（對稱分布）
峰度	3（標準正態）或超額峰度 = 0
熵	$H(X)=\frac{1}{2}\ln (2\pi e{\sigma }^2)$

1.4 正態和

采用 MGF 法：$X_1+X_2$ 的 MGF 為
[
M_{X_1+X_2}(t) = E[e^{t(X_1+X_2)}] = E[e^{tX_1}]E[e{tX_2}] = M_{X_1}(t)M_{X_2}(t)
]
代入正態分布的 MGF：$M_X(t)=\exp (\mu t+\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2)$，得
[
M_{X_1+X_2}(t) = \exp(\mu_1 t + \frac{1}{2}\sigma_1^2 t^2) \cdot \exp(\mu_2 t + \frac{1}{2}\sigma_2^2 t^2)
= \exp((\mu_1+\mu_2)t + \frac{1}{2}(\sigma_1^2+\sigma_22)t^2)
]
這恰是 $N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$ 的 MGF，證畢。

1.5 邊緣正態

二維正態密度可表示為：
[
f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}
\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^{2)}\left[\frac{(x-\mu_X)}2}{\sigma_X^2} -
2\rho\frac{(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y} +
\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y2}\right]\right)
]

邊緣密度：$f_X(x)={\int }_{?\infty }^{\infty }{f}_{X,Y}(x,y)dy$

通過計算此積分（配方完成平方），得到：
[
f_X(x) = \frac{1}{\sigma_X\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X2}\right)
]
這正是 $N({\mu }_X,{\sigma }_X^2)$ 的密度，$Y$ 同理。

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2. 理論推導與關鍵結果

2.1 矩生成函數

$N(\mu ,{\sigma }^{}$