用戶問的是概率論與統計（不確定性分析）的主要應用方面，涉及的具體知識以及具體公式。首先，我需要確定概率論與統計在哪些領域有應用，比如工程、金融、醫學、數據科學等等。然后，具體知識部分應該包括概率論的基本概念，比如概率分布、期望、方差，統計推斷中的參數估計、假設檢驗，還有不確定性分析中的蒙特卡洛模擬、誤差傳播等。

接下來，用戶要求列舉具體公式。比如概率的基本公式，條件概率、全概率公式、貝葉斯定理。常見分布的概率質量函數或密度函數，比如二項分布、正態分布、泊松分布。期望和方差的公式，還有統計中的點估計如矩估計、最大似然估計，區間估計中的置信區間公式，假設檢驗中的 Z 檢驗、t 檢驗公式，方差分析中的 F 統計量，相關系數的計算公式，蒙特卡洛模擬中的基本思想，誤差傳播的公式如方差傳播定律。

需要注意用戶可能的背景，可能是學生或需要應用這些知識的專業人士，所以應用方面要具體舉例，比如在工程中的可靠性分析，金融中的風險評估，醫學中的臨床試驗分析等。具體知識部分要分點清晰，公式要準確，并且盡量解釋每個公式的含義和應用場景，避免只是羅列公式而不說明用途。

還要檢查是否有遺漏的重要應用領域或公式，比如在機器學習中的應用，雖然用戶提到不確定性分析，可能更偏向傳統應用，但機器學習中的概率模型也可以提及。另外，確保公式的符號正確，比如期望 E [X]，方差 Var (X)，條件概率 P (A|B) 等，避免排版錯誤。最后，結構要清晰，分應用領域、具體知識、具體公式三個部分，每個部分下再分點，讓用戶容易理解。

概率論與統計（不確定性分析）是處理隨機現象和數據不確定性的核心工具，廣泛應用于自然科學、工程技術、社會科學、金融經濟等領域。以下從應用領域、核心知識及具體公式三方面展開說明：

一、主要應用領域

1. 工程與科學研究

   • 可靠性分析：評估系統或設備的故障概率（如結構工程中的疲勞壽命預測）。
   • 不確定性量化（UQ）：量化建模誤差、測量噪聲對結果的影響（如氣候模型、流體力學模擬）。
   • 質量控制：通過統計過程控制（SPC）監測生產流程的穩定性。

2. 金融與風險管理

   • 資產定價：Black-Scholes 模型基于幾何布朗運動（概率論）計算期權價格。
   • 風險評估：Value at Risk（VaR）利用概率分布估算極端風險。
   • 投資組合優化：馬科維茨模型通過協方差矩陣優化資產配置。

3. 醫學與生物統計

   • 臨床試驗分析：假設檢驗（如 t 檢驗、卡方檢驗）驗證藥物療效。
   • 生存分析：Kaplan-Meier 曲線、Cox 比例風險模型分析患者生存時間。
   • 流行病建模：SIR 模型結合概率模擬疾病傳播。

4. 數據科學與機器學習

   • 分類與回歸：邏輯回歸、樸素貝葉斯基于概率建模。
   • 貝葉斯推斷：MCMC（馬爾可夫鏈蒙特卡洛）方法估計復雜模型參數。
   • 不確定性建模：貝葉斯神經網絡量化預測不確定性。

5. 社會科學與經濟學

   • 計量經濟學：回歸分析、時間序列模型（如 ARIMA、GARCH）分析經濟數據。
   • 調查統計：分層抽樣、聚類分析處理樣本偏差。