1. 歐拉公式中的符號

• 歐拉公式
  $$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$
• 當 $x=\pi$時
  $$e^{i\pi }+1=0//歐拉恒等式$$
  • $e$:自然對數的底
  • $i$:虛數，$i^2=?1$
  • $\cos x+i\sin x$:復數，$\cos x$為實部，$\sin x$為虛部，實部和虛部對應復平面的一個點，在復平面中如下圖所示(所有的點都落在一個單位圓上)：
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2. 理解歐拉公式的左右兩邊為什么是相等的

2.1 自然對數的底 $e$ 是什么

• $e$ 表示 $n$ 趨近于無窮大時 $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 的極限，約等于 $2.718281828459045$
  $$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$
• 記住一點：無論對$e^x$求幾階導，結果都為$e^x$,它的變化率是等于它本身的，它變化率的變化率也本身，變化率的變化率的變化率也等于它本身。。。。。。。可以無限套娃下去

2.2 $e^{ix}$ 為什么等于$\cos x+i\sin x$

• 方法是對左右兩邊分別進行泰勒展開，關于泰勒展開可以參考我的另外一篇文章《泰勒多項式》

• 對 $e^{ix}$ 在$0$點處進行泰勒展開：
  $$\begin{gathered} 泰勒公式 \\ {P}_n(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x?a)+f^{\prime \prime }(a)\frac{(x?a{)}^2}{2!}+...+f^{(n)}(a)\frac{(x?a{)}^n}{n!} \\ ???????????? \\ 在零點處展開的公式（麥克勞林公式） \\ {P}_n(x)=f(0)+f^{\prime }(0)(x)+f^{\prime \prime }(0)\frac{(x{)}^2}{2!}+...+f^{(n)}(0)\frac{(x{)}^n}{n!} \\ ???????????? \\ 將e^{ix}帶入麥克勞林公式 \\ {e}^x=e^0+(e^0{)}^{\prime }(ix)+(e^0{)}^{\prime \prime }\frac{(ix{)}^2}{2!}+...+(e^0{)}^{(n)}\frac{(ix{)}^n}{n!} \\ ???????????? \\ {e}^0的導數=e^0=1 \\ {e}^{ix}=1+ix+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}...+\frac{(ix{)}^n}{n!} \\ ???????????? \\ {e}^{ix}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(ix{)}^n}{n!}//注：0!=1 \\ ???????????? \\ 因為i^2=?1,所以在n為偶數的時候，i是可以消掉的，所以，上述公式也可以寫成實部和虛部兩部分 \\ {e}^{ix}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(ix{)}^{2n}}{(2n)!}+\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(ix{)}^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ ?? \\ {e}^{ix}=\sum _{n=0}^{\infty }(?1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+i\sum _{n=0}^{\infty }(?1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{gathered}$$

• 對$\cos x+i\sin x$進行泰勒展開

  • 對 $\cos x$ 進行泰勒展開，過程不過多贅述了，直接寫結果
    $$\begin{gathered} \cos x=\cos (x)=1?\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}?\frac{x^6}{6!}+?. \\ \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(?1\right)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{gathered}$$
  • 對 $\sin x$ 進行泰勒展開，過程不過多贅述了，直接寫結果
    $$\begin{gathered} \sin (x)=x?\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}?\frac{x^7}{7!}+?. \\ \sin (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(?1\right)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{gathered}$$
  • $\cos x+i\sin x$ 的泰勒展開為
    $$\cos x+i\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(?1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+i\sum _{n=0}^{\infty }(?1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

• 總結：
  如下圖所示 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 的泰勒展開是完全一樣的，所以等式兩邊是等價的
  

3. $e^{i\pi }+1=0$又為什么成立

3.1 分析

• $e^{i\pi }$中的 $\pi$ 代表的是什么？直接說答案 - 角度，準確的說是 $180^0$，這是弧度值的表示方法
• 使用弧度制如何表示一個角度呢？其實很簡單，就是 弧長 / 半徑$$\theta \left(\text{弧度}\right)=\frac{\text{弧長}s}{\text{半徑}r}$$
• 半圓的弧長是$\pi r$， 所以$$180^0=\frac{\pi r}{r}=\pi$$
• 常見角度與弧度對照表?：

角度（度）	弧度（rad）
0°	0
30°	$\frac{\pi }{6}$
45°	$\frac{\pi }{4}$
60°	$\frac{\pi }{3}$
90°	$\frac{\pi }{2}$
180°	$\pi$

3.2 結論

• 因為 $\pi =180^o$,所以
  $$\begin{gathered} e^{i\pi }=\cos 180^o+i\sin 180^o \\ {e}^{i\pi }=?1+i?0 \\ {e}^{i\pi }=?1 \\ ?????????????????????????????????????????????? \\ {e}^{i\pi }+1=0 \end{gathered}$$