算法思想之前綴和(二)

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本篇主題：算法思想之前綴和(二)
發布時間：2025.4.11
隸屬專欄：算法

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滑動窗口算法介紹
- 核心思想
- 大致步驟
例題
- 和為 K 的子數組
- - 題目鏈接
  - 題目描述
  - 算法思路
  - 代碼實現
- 和可被 K 整除的子數組
- - 題目鏈接
  - 題目描述
  - 算法思路
  - 代碼實現
- 連續數組
- - 題目鏈接
  - 題目描述
  - 算法思路
  - 代碼實現
- 矩陣區域和
- - 題目鏈接
  - 題目描述
  - 算法思路
  - 代碼實現

滑動窗口算法介紹

核心思想

前綴和（Prefix Sum）是一種預處理數組的方法，通過預先計算并存儲數組的累積和，將區間和查詢的時間復雜度從 O(n) 優化至 O(1)，適用于頻繁查詢子數組和的場景。

大致步驟

預處理出來一個前綴和數組
使用前綴和數組
處理邊界情況

例題

和為 K 的子數組

題目鏈接

560. 和為 K 的子數組

題目描述

給你一個整數數組 nums 和一個整數 k ，請你統計并返回該數組中和為 k 的子數組的個數。

子數組是數組中元素的連續非空序列。

示例 1：

輸入：nums = [1,1,1], k = 2
輸出：2

示例 2：

輸入：nums = [1,2,3], k = 3
輸出：2

提示：

1 <= nums.length <= 2 * 104
-1000 <= nums[i] <= 1000
-107 <= k <= 107

算法思路

設 i 為數組中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 區間內所有元素的和。
想知道有多少個以 i 為結尾的和為 k 的子數組，就要找到有多少個起始位置為 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 區間內的所有元素的和為 k 。那么 [0, x] 區間內的和是不是就是sum[i] - k 了。于是問題就變成：

找到在 [0, i - 1] 區間內，有多少前綴和等于 sum[i] - k 的即可。

我們不用真的初始化一個前綴和數組，因為我們只關心在 i 位置之前，有多少個前綴和等于sum[i] - k 。因此，我們僅需用一個哈希表，一邊求當前位置的前綴和，一邊存下之前每一種前綴和出現的次數。

代碼實現

class Solution {
public:int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {unordered_map<int, int> hash;hash[0] = 1;int n = nums.size(), sum = 0, ret = 0;for(int i = 0; i < n; i++){sum += nums[i];if(hash[sum-k] > 0)ret += hash[sum-k];hash[sum]++;}return ret;}
};

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和可被 K 整除的子數組

題目鏈接

974. 和可被 K 整除的子數組

題目描述

給定一個整數數組 nums 和一個整數 k ，返回其中元素之和可被 k 整除的非空 子數組 的數目。

子數組 是數組中連續的部分。

示例 1：

輸入：nums = [4,5,0,-2,-3,1], k = 5
輸出：7
解釋：
有 7 個子數組滿足其元素之和可被 k = 5 整除：
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

示例 2:

輸入: nums = [5], k = 9
輸出: 0

提示:

1 <= nums.length <= 3 * 104
-104 <= nums[i] <= 104
2 <= k <= 104

算法思路

補充兩個小知識

同余定理
如果 (a - b) % n == 0，那么我們可以得到一個結論： a % n == b % n 。用文字敘述就是，如果兩個數相減的差能被 n 整除，那么這兩個數對 n 取模的結果相同。
例如：(26 - 2) % 12 == 0 ，那么 26 % 12 == 2 % 12 == 2 。
c++ 中負數取模的結果，以及如何修正負數取模的結果
- c++ 中關于負數的取模運算，結果是把負數當成正數，取模之后的結果加上一個負號。
  例如： -1 % 3 = -(1 % 3) = -1
- 因為有負數，為了防止發生出現負數的結果，以 (a % n + n) % n 的形式輸出保證為正。
  例如： -1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2

設 i 為數組中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 區間內所有元素的和。

想知道有多少個以 i 為結尾的可被 k 整除的子數組，就要找到有多少個起始位置為 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 區間內的所有元素的和可被 k 整除。
設 [0, x - 1] 區間內所有元素之和等于 a ， [0, i] 區間內所有元素的和等于 b ，可得(b - a) % k == 0 。
由同余定理可得， [0, x - 1] 區間與 [0, i] 區間內的前綴和同余。于是問題就變成：
- 找到在 [0, i - 1] 區間內，有多少前綴和的余數等于 sum[i] % k 的即可。

代碼實現

class Solution {
public:int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {unordered_map<int, int> hash;hash[0%k] = 1;int sum = 0, ret = 0;for(auto &n : nums){sum += n;int r = (sum%k + k)%k;if(hash[r] > 0)ret+=hash[r];hash[r]++;} return ret;}
};

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連續數組

題目鏈接

525. 連續數組

題目描述

給定一個二進制數組 nums , 找到含有相同數量的 0 和 1 的最長連續子數組，并返回該子數組的長度。

示例 1：
輸入：nums = [0,1]
輸出：2
說明：[0, 1] 是具有相同數量 0 和 1 的最長連續子數組。

示例 2：

輸入：nums = [0,1,0]
輸出：2
說明：[0, 1] (或 [1, 0]) 是具有相同數量 0 和 1 的最長連續子數組。

示例 3：

輸入：nums = [0,1,1,1,1,1,0,0,0]
輸出：6
解釋：[1,1,1,0,0,0] 是具有相同數量 0 和 1 的最長連續子數組。
提示：

1 <= nums.length <= 105
nums[i] 不是 0 就是 1

算法思路

稍微轉化一下題目，就會變成我們熟悉的題：

本題讓我們找出一段連續的區間， 0 和 1 出現的次數相同。
如果將 0 記為 -1 ， 1 記為 1 ，問題就變成了找出一段區間，這段區間的和等于 0 。
? 于是，就和 560. 和為 K 的子數組這道題的思路一樣

代碼實現

class Solution {
public:int findMaxLength(vector<int>& nums) {unordered_map<int, int> hash;hash[0] = -1;int n = nums.size(), sum = 0, ret = 0;for(int i = 0; i < n; i++){sum += (nums[i] == 0 ? -1: 1);if(hash.count(sum))ret = max(ret, i - hash[sum]);else    hash[sum] = i;}return ret;}
};

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矩陣區域和

題目鏈接

1314. 矩陣區域和

題目描述

給你一個 m x n 的矩陣 mat 和一個整數 k ，請你返回一個矩陣 answer ，其中每個 answer[i][j] 是所有滿足下述條件的元素 mat[r][c] 的和：

i - k <= r <= i + k,
j - k <= c <= j + k 且
(r, c) 在矩陣內。

示例 1：

輸入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 1
輸出：[[12,21,16],[27,45,33],[24,39,28]]

示例 2：

輸入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 2
輸出：[[45,45,45],[45,45,45],[45,45,45]]

提示：

m == mat.length
n == mat[i].length
1 <= m, n, k <= 100
1 <= mat[i][j] <= 100

算法思路

?維前綴和的簡單應用題，關鍵就是我們在填寫結果矩陣的時候，要找到原矩陣對應區域的左上角以及右下角的坐標（推薦畫圖）

左上角坐標： x1 = i - k，y1 = j - k ，但是由于會超過矩陣的范圍，因此需要對 0取一個 max 。因此修正后的坐標為： x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k) ;
右下角坐標： x1 = i + k，y1 = j + k ，但是由于會超過矩陣的范圍，因此需要對 row - 1 ，以及 col - 1 取?個 min 。因此修正后的坐標為： x2 = min(row - 1, i + k), y2 = min(col - 1, j + k) 。

然后將求出來的坐標代入到二維前綴和矩陣的計算公式上即可~（但是要注意下標的映射關系）

代碼實現

class Solution {
public:vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {int row = mat.size(), col = mat[0].size();vector<vector<int>> dp(row+1, vector<int>(col+1));for(int i = 1; i <= row; i++)for(int j = 1; j <= col; j++)dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]+mat[i-1][j-1];vector<vector<int>> answer(row, vector<int>(col));for(int i = 0; i < row; i++)for(int j = 0; j < col; j++){int x1 = max(0, i-k)+1, y1 = max(0, j-k)+1;int x2 = min(row-1, i+k)+1, y2 = min(col-1, j+k)+1;answer[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1];}return answer;}
};