前言

題目確實比較多。slow down and take your time.

4.39

狂算了一遍，然后發現不是計算出問題了，是積分上下限寫錯了。還有把函數代進去也出了一點問題。

點火公式一家人我不記得，只記得一個光禿禿的點火公式。感覺還是得找補一下點火公式一家人。不然過去了就永遠過去了，計算速度練不上來。定積分計算 1 是第一次出現點火公式。終于找到了，定積分計算 2 ，基本的點火公式就不說了。實際上主要就是考慮函數圖像的正負性。我這里還是完整地羅列一下，免得以后忘記了還有個存檔。

$${\int }_0^{\pi }si{n}^{n}xdx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx$$,$${\int }_0^{\pi }co{s}^{n}xdx=\{\begin{array}{l}2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx,\text{n?is?oven}\\ 0,\text{n?is?odd}\end{array}$$,
$${\int }_0^{2\pi }si{n}^{n}xdx={\int }_0^{2\pi }co{s}^{n}xdx=\{\begin{array}{l}4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx,\text{n?is?oven}\\ 0,\text{n?is?odd}\end{array}$$
很多東西沒有記到腦子里面就多學幾遍。確實記住就感覺差點意思。真正的考試不會提示這個曲線就是雙紐線，所以直角坐標的曲線表達式和極坐標的表達式都是記憶的重點。
$$(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2?y^2)$$
$$r^2=a^{2}cos2\theta$$
然后就是套公式就可以算出來了，計算量還是比較小的。

4.40

算是一個參數方程求面積的題。參數方程的題用換元法來求解。換元需要保證換元的函數是單調的。星形線：$$x=aco{s}^3\theta ,y=asi{n}^3\theta$$，解題的第一步畫出圖形，然后用定積分的幾何意義表示出面積的表達式，然后換元法，從直角坐標換成極坐標，也可以理解為正常的換元，然后根據 $si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1$ 全部表示成 $sinx$ 的次方，把積分上下限盡可能轉換為 $(0,\frac{\pi }{2})$ ，然后用點火公式。

4.41

點火公式奇數的那個部分我記得不是很清楚。下面記錄一下點火公式奇數部分
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{n}xdx=\frac{n?1}{n}?\frac{n?3}{n?2}?\frac{n?5}{n?4}?\frac{2}{3}\text{,n?is?odd}$$
分部積分是反對冪三指，冪函數是放在三角函數前面的，這個我經常容易搞混，然后積分到后面發現算不出來了，就是這個部分的問題。冪函數一定要放在三角函數前面，把 $d$ 作為分界點，在 $d$ 左邊認為是前面，在 $d$ 右邊認為是后面。$xcosx{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=0?0=0$ ，一個因子是零，讓整個因子是零，這里控制得非常精準。總的來說就是兩個旋轉體體積公式，第一個計算用點火公式算，第二個計算用分部積分算，然后聯立求解，非常常規，但是考察得我認為也算是比較綜合了。完全值得五分的填空題。

4.42

$si{n}^{2}x$ 的圖像，可以發現和 $sinx$ 的趨勢差不多，然后把負的部分翻轉到 $x$ 軸上方。


另一個圖形是一個正半圓。

積分區間是 $(0,\pi )$ ，被積函數是 $x$ 和 $sinx$ ，可以把 $x$ 從被積函數里面拿出來，然后前面乘一個系數 $\frac{\pi }{2}$ ，積分區間不變。證明這個公式可用區間再現公式和移項。
$${\int }_0^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(sinx)dx$$

我傻了。一個圓，非常標準的圓，旋轉就是一個球。然后球直接用球的體積公式，$V=\frac{4}{3}\pi r^3$ ，實際上積分也能積分出來，換元就是正常換元，換元要求的是 $t$ 的范圍，我誤以為是 $x$ 的范圍，難怪搞半天也算不出來。然后后半部分的計算才是重點，不知道上面那個公式，這個題基本上就廢掉了。還有點火公式一家人。上面寫了點火公式一家人的公式。這題非常非常經典。

4.43

原來這種函數和 $\frac{1}{x}$ 的趨勢差不多。$1+ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x$ ，計算失誤是一個非常嚴重的問題。總是算錯。甚至可能是只差最后一步，然后還是算錯。三角換元對我個人來說是一個非常難的知識點。$cscx$ 的積分，老老實實擺在積分表里面，假設考研之前沒記住就有點搞笑了。$cscx$ 是余割函數。$\int cscxdx=ln|cscx?cotx|+C$ ,$cotx$ 是余切函數。大概就是這樣。所以這題非常經典。實際上可能書上的例題大部分都非常經典。

4.44

圓錐體的體積公式： $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 。一頓操作猛如虎，然后又算錯了。真得檢查一遍，養成檢查的習慣。哦另外也是審題錯誤。這題是先求面積，再求體積，我直接算的體積，然后體積也沒算對。奧，因為這個體積不是繞 $x$ 軸旋轉的體積。實際上繞 $x=x_0$ 旋轉是薄壁空心桶的模型，假設 $x_0>0$ ，$V=2\pi {\int }_a^b(x_0?x)f(x)dx$ 是體積公式。這題真是究極折磨。

4.45

套公式，對勾函數。哦也不是對勾函數，但是是這種兩個式子相乘是常數的函數

這個函數的平方和 1 做加法，可以得到另一個完全平方式子。高質量的積分題，處處是巧合。$L={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx,a<b$

4.46

星形線。可以發現星形線的最遠的邊就是到 a 處，然后 x 和 y 的冪指數都是等于 a 的冪指數的。星形線的直角坐標公式和參數方程公式都需要記住。直角坐標公式是 $x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}}=a^{\frac{3}{2}}$，參數方程的形式是 $x=aco{s}^{3}t,y=asi{n}^{3}t$.注意到另外一個公式也可以加速計算。就是在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 這個積分區間，被積函數里面的 $sinx$ 和 $cosx$ 全部交換位置，總體的定積分的值是相等的。
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx,cosx)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(cosx,sinx)dx$$，可以用區間再現公式和三角函數的性質來證明。區間再現公式是
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b?x)dx$$
本來以為這題能用上，實際上還是用基本方法做的。當然這些二級結論還是得記住。

4.47

旋轉曲面的側表面積還是旋轉曲面的面積，這個非常重要。因為可能要加上底面的面積。然后套公式就是 $2\pi |y|L,\text{L?是弧長}$，然后求定積分。求弧長是根號下面，至少有一個導數。

4.48

最后一題了。但是怎么求曲線表達式就把我卡住了。哦哦，只有一個區域旋轉得到的旋轉曲面才有除了側表面積之外的面積，正常一個曲線旋轉得到的就只有側表面積。弧長算對了，但是側表面積還是算錯了。我重新算一次試試。重新算了一遍，思路沒啥問題，還是計算錯誤。計算。。計算。計算。好吧。這里也是用了前面那個題的，加上 1 之后，本來的對勾函數可以轉換為另一個完全平方式子。就是和 4.45 一樣。求表達式，對兩邊求導就可以求出表達式。