終值定理的推導與理解

終值定理是控制理論和信號處理中的一個重要工具，它通過頻域的拉普拉斯變換來分析時間域函數的最終穩態值。具體來說，終值定理提供了一個簡便的方法，利用 $F(s)$（$f(t)$ 的拉普拉斯變換）直接計算時間域 $f(t)$ 在 $t\to \infty$ 時的穩定值。本文將從終值定理的公式入手，結合數學推導和直觀解釋，幫助讀者理解其本質。

1. 終值定理的公式

終值定理的表達式為：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$$

其中：

• $f(t)$ 是時間域的原函數；
• $F(s)$ 是 $f(t)$ 的拉普拉斯變換。

這一定理的核心思想是通過 $s\to 0$ 時 $F(s)$ 的行為，捕捉系統的穩態值，從而避免直接計算時間域積分的繁瑣過程。

2. 推導過程

2.1 拉普拉斯變換的定義

拉普拉斯變換的定義為：

$$F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{?st}dt$$

其中，$F(s)$ 是時間域信號 $f(t)$ 在頻域的表示。通過這一變換，可以將時間域的動態行為映射到頻率域，為分析帶來便利。

2.2 穩態值的定義

時間域信號 $f(t)$ 的最終穩態值（若存在）定義為：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)$$

我們希望將這一極限值與頻域的 $F(s)$ 聯系起來。為了實現這一點，考慮 $sf(t)$ 的拉普拉斯變換：

L { s f ( t ) } = s F ( s ) \mathcal{L}\{sf(t)\} = sF(s) L{sf(t)}=sF(s)

通過這一關系，我們能夠從 $F(s)$ 中提取穩態信息。

2.3 為什么 $s\to 0$ 對應最終值？

$s\to 0$ 表示頻率很低，此時拉普拉斯變換主要關注信號 $f(t)$ 的長期趨勢。換句話說，頻域中 $sF(s)$ 的低頻分量反映了時間域中 $f(t)$ 的最終行為。

為了更加嚴謹地說明這一點，考慮拉普拉斯變換的反變換公式：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{?\infty }^{\infty }F(s)e^{st}ds$$

當 $t\to \infty$ 時，只有 $s\to 0$ 的分量對 $f(t)$ 有貢獻。因此，可以得到：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$$

3. 適用條件

終值定理并非總是適用，以下條件必須滿足：

1. $F(s)$ 在 $s=0$ 附近收斂；
2. $f(t)$ 的最終值存在（即系統穩定，無震蕩或發散）；
3. $F(s)$ 中不包含右半平面的極點或非零的純虛軸極點。

4. 直觀解釋

終值定理可以看作是在頻域中觀察系統的低頻特性。低頻部分決定了系統在長時間后的表現，而 $sF(s)$ 在 $s\to 0$ 時正是這種低頻行為的代表。

通俗地說，終值定理就像一面鏡子，通過 $s\to 0$ 的頻率域反射出時間域的長期穩態。

打個比方，假設你往一杯水里倒入糖，系統開始時（即 $t=0$）糖在水中分布不均勻，經過時間 $t\to \infty$ 后，糖逐漸完全溶解并均勻分布，這個狀態就是“最終值”。而終值定理允許我們通過頻域計算，直接得出這種穩定狀態，而不需要去觀察整個動態變化過程。

5. 總結

終值定理是一種將時間域穩態分析轉化為頻域計算的方法，具有重要的理論和實用價值。其推導基于拉普拉斯變換的性質，通過頻率域低頻分量的分析捕捉時間域的長期趨勢。盡管終值定理的適用范圍有限，但在滿足條件的情況下，它提供了快速分析系統穩態特性的有力工具。