前言

前面發布的【圖形學初識】系列文章，坐標基本上都指代屏幕空間的二維坐標，遲遲沒有進入真正的3維世界。為了真正進入三維世界，就需要存在一種工具將三維坐標映射為二維坐標，這個工具就涉及到數學中的線性代數中的一些概念，如：矩陣、向量、行列式等等！本章節就針對這些概念和相關計算做說明！

正文

向量

什么是向量？

概念：向量的相對概念是標量，以下是兩者的對比：

向量： 既有大小，又有方向；

標量： 只有大小，沒有方向；

舉個例子：

向量： 速度、加速度、力等

標量： 顏色、溫度、質量等

基本表示： $\vec{a}=\overrightarrow{AB}=B?A$ 。一個不太準確，但又十分形象的圖形表示如下圖：

$\vec{a}$ 的大小：AB之間的距離

$\vec{a}$ 的方向：A指向B的這個方向

三維空間下，假設$A=(x_0,y_0,z_0)，B=(x_1,y_1,z_1)$，則 $\overrightarrow{AB}=B?A=(x_1?x_0,y_1?y_0,z_1?z_0)$?

本質上，上述的坐標表示法，其實是針對三維空間正交向量基的i、j、k的加權組合，但是因為目前還沒有講向量乘法、向量加法，所以沒法解釋，可以直觀的認為就是這樣做！

向量涉及哪些常見計算？

1、取模

假設$A=(x_0,y_0,z_0)，B=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{AB}=(x_1?x_0,y_1?y_0,z_1?z_0)$，記 $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ 是 $\overrightarrow{AB}$ 模，本質就是向量的長度

計算公式如下：
$$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{(x_1?x_0{)}^2+(y_1?y_0{)}^2+(z_1?z_0{)}^2}$$

2、歸一化

假設$A=(x_0,y_0,z_0)，B=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{AB}=(x_1?x_0,y_1?y_0,z_1?z_0)$，記$\widehat{AB}$ 是 $\overrightarrow{AB}$ 的歸一化向量

歸一化本質：計算一個方向不變，長度變為1的對應向量

計算公式如下：
$$\widehat{AB}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\Vert \overrightarrow{AB}\Vert }$$

3、向量加法

假設$\vec{a}=(x_0,y_0,z_0)，\vec{b}=(x_1,y_1,z_1)$ 那么 $\vec{c}=\overrightarrow{a+b}=(x_1+x_0,y_1+y_0,z_1+z_0)$

代數解釋：對應坐標相加

幾何解釋：

（1）兩向量移動到統一起點，構成平行四邊形，副對角線即為加和結果

（2）把b向量移動到a向量的末尾，從a起點連接b終點，得到的向量即為加和結果

4、向量減法

假設$\vec{a}=(x_0,y_0,z_0)，\vec{b}=(x_1,y_1,z_1)$ 那么 $\vec{c}=\overrightarrow{b?a}=(x_1?x_0,y_1?y_0,z_1?z_0)$

代數解釋：對應坐標相減

幾何解釋：向量a的末端連接向量b末端的一個新向量

5、向量與標量乘

假設$\vec{a}=(x_0,y_0,z_0)$ 那么 $\vec{c}=k\vec{a}=(k{x}_0,k{y}_0,k{z}_0)$

代數解釋：對應坐標乘標量k

幾何解釋：當 $k!=0$，向量等比例調整長度，k為縮放比例

6、向量點乘（內積）

假設$\vec{a}=(x_0,y_0,z_0)，\vec{b}=(x_1,y_1,z_1)$ 那么記點乘 $\vec{c}=\vec{a}?\vec{b}=x_1{x}_0+y_1{y}_0+z_1{z}_0$??

注意：點乘的結果是一個標量

代數解釋：對應坐標相乘然后相加

幾何解釋：$\hat{a}?\hat{b}=\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert \cos \theta$， 如下圖所示

7、向量投影

假設$\vec{a}=(x_0,y_0,z_0)，\vec{b}=(x_1,y_1,z_1)$ 那么記$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影為 $\overrightarrow{a_{prjb}}$? ，計算公式如下：

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a_{prjb}}& =\hat{b}?\Vert \overrightarrow{a_{\perp }}\Vert \\ & =\frac{\vec{b}}{\Vert \vec{b}\Vert }?\cos \theta ?\Vert \vec{a}\Vert \\ & =\frac{\vec{b}}{\Vert \vec{b}\Vert }?\frac{\vec{a}?\vec{b}}{\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert }?\Vert \vec{a}\Vert \\ & =\frac{\vec{a}?\vec{b}}{\Vert \vec{b}{\Vert }^2}\vec{b}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

假設被投影的向量為單位向量，則結果可以簡化：$\overrightarrow{a_{prjb}}=(\vec{a}?\vec{b})\vec{b}$

向量有哪些基本應用？

（1）判斷兩向量是否同向（重要）

利用向量點乘的結果判斷，如果結果為負數，則不是同向，如果結果為正數，則同向。

（2）計算投影

? 略（上述已給出計算公式）

（3）計算夾角

? 略（也是利用點乘，計算$\cos \theta$，從而計算出夾角）

矩陣

什么是矩陣？

矩陣本質就是一個二維數組，有行、有列，其中存儲許多數字，每個數字叫做矩陣的元素。第i行、j列的記作$a_{ij}$，當行和列相等時，我們叫做方陣！

如下圖就是3x3的方陣,，我們常記作矩陣為 $M$ ：
$$\left[\begin{array}{ccc}10& 12& 30\\ ?1& 3& 0\\ 2& 96& 123\end{array}\right]$$

當方陣的只有主對角線元素為1，其余所有元素為0，我們記矩陣為單位矩陣，記$I_n$，如下圖：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

矩陣涉及哪些常見計算？

1、矩陣加法

前提：兩矩陣行列數相同

計算規則：對應元素相加

2、矩陣減法

前提：兩矩陣行列數相同

計算規則：對應元素相減

3、矩陣乘法

前提：矩陣 $A$ 左乘矩陣 $B$ ，要求A的列數與B的行數相同

計算規則：假設矩陣 $C$ 的每個元素為 $c_{ij}$ ,矩陣$A$的每個元素為 $a_{ij}$ ,矩陣$B$的每個元素為 $b_{ij}$ ，如果$C=AB$

則$C$的每個元素：
$$c_{ij}=\left(\begin{array}{c}{a}_{i0}\\ a_{i1}\\ a_{i2}\\ ...\\ a_{in}\end{array}\right)?\left(\begin{array}{c}{b}_{0j}\\ b_{1j}\\ b_{2j}\\ ...\\ b_{nj}\end{array}\right)$$
給個示例圖：

幾個常見的乘法性質：

$$\begin{gathered} (AB)C=A(BC) \\ A(B+C)=AB+AC \\ (A+B)C=AC+BC \end{gathered}$$

注意： 矩陣乘法沒有交換律，一般來說： $AB!=BA$

4、矩陣和向量乘法

我們可以將向量理解為列或者行為1的矩陣，這樣問題就轉化為矩陣的乘法類似，不多贅述！

如下圖：

矩陣有哪些基本應用？

無所不能，在圖形學領域最重要的概念就是MVP變換，本質上就是對應三個矩陣！這方面內容會在后面章節詳細講解哦！大家拭目以待！

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