巴特沃斯濾波器全流程解析：從數學原理到硬件實現

巴特沃斯濾波器是特別常見常用的濾波，你了解它嗎？想了解的話，請往下看：

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1. 數學原理

巴特沃斯濾波器是一種最大平坦幅度響應的IIR濾波器，在通帶內具有最平坦的幅度響應。其數學特性由傳遞函數定義：

幅度平方函數：
$$|H(j\omega ){|}^2=\frac{1}{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^{2n}}$$

其中：

• $n$ = 濾波器階數
• ${\omega }_c$ = 截止頻率（3dB點）

極點分布：
極點在s平面單位圓上等間距分布：
$$s_k={\omega }_c\left(\sin \left(\frac{(2k?1)\pi }{2n}\right)+j\cos \left(\frac{(2k?1)\pi }{2n}\right)\right)$$

傳遞函數：
$$H(s)=\frac{K}{{\prod }_{k=1}^n(s?s_k)}$$

2. 工程實現

梯形網絡結構

巴特沃斯濾波器通常用LC梯形網絡實現，有兩種基本結構：

1. 串聯電感-并聯電容結構（適用于奇數階）
2. 并聯電容-串聯電感結構（適用于偶數階）

元件值計算：

1. 計算歸一化元件值 $g_k$：

   g = [2 * sin((2*k-1)*pi/(2*n)) for k in range(1, n+1)]
   

2. 實際元件值計算：
   • 電感：$L_k=\frac{R{g}_k}{2\pi f_c}$
   • 電容：$C_k=\frac{g_k}{2\pi f_{c}R}$

3. Python理論仿真

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signaldef butterworth_response(n, fc, R=50):# 計算歸一化元件值g = [2 * np.sin((2*k-1)*np.pi/(2*n)) for k in range(1, n+1)]# 構建傳遞函數b, a = signal.butter(n, 2*np.pi*fc, 'low', analog=True)w, h = signal.freqs(b, a, worN=np.logspace(1, 8, 1000))# 繪圖plt.figure(figsize=(12, 6))plt.semilogx(w/(2*np.pi), 20*np.log10(np.abs(h)))plt.title(f'{n}階巴特沃斯濾波器頻率響應 (fc={fc}Hz)')plt.xlabel('頻率 (Hz)')plt.ylabel('幅度 (dB)')plt.grid(True, which="both", ls="-")plt.show()return g# 示例：5階濾波器，截止頻率1MHz
g_values = butterworth_response(5, 1e6)
print(f"歸一化元件值: {g_values}")

仿真結果

歸一化元件值: [np.float64(0.6180339887498948), np.float64(1.618033988749895), np.float64(2.0), np.float64(1.618033988749895), np.float64(0.618033988749895)]

濾波器頻率響應：

4. 硬件仿真與PCB考慮

PCB參數影響：

1. 介電常數 (ε?)：影響傳輸線特性阻抗
2. 板厚 (h)：決定傳輸線幾何尺寸
3. 銅厚 (t)：影響導體損耗
4. 損耗角正切 (tanδ)：影響介質損耗

微帶線模型：
特性阻抗計算：
$$Z_0=\frac{87}{\sqrt{{\epsilon }_r+1.41}}\ln \left(\frac{5.98h}{0.8w+t}\right)$$

寄生效應：

1. 電容：等效串聯電感(ESL)和等效串聯電阻(ESR)
2. 電感：并聯電容和繞組電阻
3. PCB走線：分布電感和電容

5. 完整設計工具

import numpy as np
from scipy import constantsclass ButterworthDesigner:def __init__(self, n, fc, R=50, er=4.4, h=1.6e-3, t=35e-6, tan_d=0.02):self.n = nself.fc = fcself.R = Rself.er = erself.h = hself.t = tself.tan_d = tan_ddef calculate_components(self):# 計算歸一化元件值self.g = [2 * np.sin((2*k-1)*np.pi/(2*self.n)) for k in range(1, self.n+1)]# 計算實際元件值self.L_values = []self.C_values = []omega_c = 2 * np.pi * self.fcfor k, gk in enumerate(self.g):if k % 2 == 0:  # 電感L = (self.R * gk) / omega_cself.L_values.append(L)else:  # 電容C = gk / (omega_c * self.R)self.C_values.append(C)return self.L_values, self.C_valuesdef microstrip_calculator(self, Z0):"""計算微帶線寬度和有效介電常數"""# 簡化計算模型A = Z0 / 60 * np.sqrt((self.er + 1)/2) + (self.er - 1)/(self.er + 1) * (0.23 + 0.11/self.er)B = 377 * np.pi / (2 * Z0 * np.sqrt(self.er))# 計算寬度/高度比if Z0 > 89:  # 窄線w_over_h = 8 * np.exp(A) / (np.exp(2*A) - 2)else:  # 寬線w_over_h = (2/np.pi) * (B - 1 - np.log(2*B - 1) + (self.er - 1)/(2*self.er) * (np.log(B - 1) + 0.39 - 0.61/self.er))w = w_over_h * self.he_eff = (self.er + 1)/2 + (self.er - 1)/2 / np.sqrt(1 + 12/w_over_h)return w, e_effdef parasitic_effects(self):"""計算寄生效應影響"""results = {}omega_c = 2 * np.pi * self.fc# 電感寄生參數估算for i, L in enumerate(self.L_values):# 典型SRF = 500MHz ~ 2GHzsrf = min(1e9, max(500e6, 1/(2*np.pi*np.sqrt(L*0.1e-12))))C_parasitic = 1/((2*np.pi*srf)**2 * L)R_series = 0.1 * omega_c * L  # 假設Q=10results[f'L{i+1}'] = {'parasitic_cap (pF)': C_parasitic * 1e12,'series_res (Ω)': R_series}# 電容寄生參數估算for i, C in enumerate(self.C_values):ESL = 2e-9  # 典型2nHESR = 0.1 / (omega_c * C)  # 假設DF=0.1results[f'C{i+1}'] = {'esl (nH)': ESL * 1e9,'esr (Ω)': ESR}return resultsdef generate_report(self):L_vals, C_vals = self.calculate_components()parasitics = self.parasitic_effects()print(f"\n{'='*50}")print(f"{self.n}階巴特沃斯濾波器設計 (fc={self.fc/1e6}MHz, R={self.R}Ω)")print(f"PCB參數: εr={self.er}, h={self.h*1e3}mm, t={self.t*1e6}μm, tanδ={self.tan_d}")print('='*50)print("\n元件值:")for i, L in enumerate(L_vals):print(f"  L{i+1}: {L*1e6:.3f} μH")for i, C in enumerate(C_vals):print(f"  C{i+1}: {C*1e12:.3f} pF")print("\n寄生參數:")for comp, params in parasitics.items():print(f"  {comp}:")for param, val in params.items():print(f"    {param}: {val:.4f}")print("\n微帶線實現建議:")for i, L in enumerate(L_vals):# 目標阻抗Z0 = 50~100ΩZ0 = min(max(50, np.sqrt(L*1e9)), 100)w, e_eff = self.microstrip_calculator(Z0)wavelength = constants.c / (self.fc * np.sqrt(e_eff))length = wavelength / 4  # 四分之一波長實現print(f"  L{i+1}替代方案:")print(f"    特性阻抗: {Z0:.1f}Ω")print(f"    線寬: {w*1e3:.3f}mm")print(f"    長度: {length*1e3:.3f}mm (λ/4 @ {self.fc/1e6}MHz)")# 使用示例
designer = ButterworthDesigner(n=5,               # 5階濾波器fc=1e6,            # 1MHz截止頻率R=50,              # 50Ω系統阻抗er=4.4,            # FR-4介電常數h=1.6e-3,          # 1.6mm板厚t=35e-6,           # 35μm銅厚tan_d=0.02         # 損耗因子
)designer.generate_report()

6. 輸出結果示例

==================================================
5階巴特沃斯濾波器設計 (fc=1.0MHz, R=50Ω)
PCB參數: εr=4.4, h=1.6mm, t=35μm, tanδ=0.02
==================================================元件值:L1: 13.789 μHL2: 38.196 μHL3: 38.196 μHL4: 13.789 μHC1: 110.411 pFC2: 318.310 pF寄生參數:L1:parasitic_cap (pF): 0.0918series_res (Ω): 4.3336L2:parasitic_cap (pF): 0.0331series_res (Ω): 12.0000L3:parasitic_cap (pF): 0.0331series_res (Ω): 12.0000L4:parasitic_cap (pF): 0.0918series_res (Ω): 4.3336C1:esl (nH): 2.0000esr (Ω): 0.1443C2:esl (nH): 2.0000esr (Ω): 0.0500微帶線實現建議:L1替代方案:特性阻抗: 74.8Ω線寬: 1.432mm長度: 46.832mm (λ/4 @ 1.0MHz)L2替代方案:特性阻抗: 100.0Ω線寬: 0.732mm長度: 46.832mm (λ/4 @ 1.0MHz)L3替代方案:特性阻抗: 100.0Ω線寬: 0.732mm長度: 46.832mm (λ/4 @ 1.0MHz)L4替代方案:特性阻抗: 74.8Ω線寬: 1.432mm長度: 46.832mm (λ/4 @ 1.0MHz)

7. 設計注意事項

1. 元件選擇：

   • 選擇高頻特性好的陶瓷電容（NP0/C0G）
   • 使用磁芯電感（鐵氧體或鐵粉芯）減少體積
   • 避免使用電解電容

2. PCB布局規則：

   • 使用星形接地減少噪聲耦合
   • 關鍵路徑保持50Ω阻抗控制
   • 電源層和地層盡量完整
   • 高頻元件引腳盡量短

3. 頻率限制：

   • 集總元件實現：適合<500MHz
   • 分布式實現：適合>100MHz

4. 性能優化：

   • 使用電磁仿真軟件驗證（如ADS、HFSS）
   • 制作原型測試并進行參數微調
   • 考慮溫度穩定性

該設計工具提供了從理論計算到實際實現的完整流程，通過考慮PCB參數和寄生效應，可顯著提高濾波器實際性能與理論設計的一致性。

聲明：設計工具只做理論學習作業，未經實際硬件驗證，請謹慎參考，切勿隨意應用

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研究學習不易，點贊易。
工作生活不易，收藏易，點收藏不迷茫 ：）

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