磁懸浮軸承轉子不平衡質量控制：陷波濾波器深度解析

在磁懸浮軸承高速旋轉的世界里，不平衡質量如同一個無形的幽靈，引發危險的同步振動，而陷波濾波器，正是精準捕獲并消除這個幽靈的“電磁獵手”。本文將深入剖析其核心原理與實戰設計。

引言：同步振動的致命誘惑

磁懸浮軸承（AMB）的革命性優勢使其在高速電機、飛輪儲能、離心壓縮機等領域大放異彩。然而，轉子微小的質量分布不均（不平衡質量）在高速旋轉時產生的周期性離心力（1X振動），如同一個頑固的幽靈，時刻威脅著系統的穩定運行。傳統的PID控制雖能提供基礎穩定，但對特定頻率（轉速頻率）的振動抑制效率低下且易損害魯棒性。陷波濾波器（Notch Filter）憑借其精準的頻率選擇性與可控的衰減特性，成為抑制磁懸浮軸承轉子不平衡振動最常用、最核心的技術手段。本文將深入探討其工作原理、設計精髓、實現陷阱及工程應用。

一、陷波濾波器：原理與核心作用

陷波的本質：選擇性頻率衰減器
- 目標：?在閉環控制系統的反饋回路（或前饋通道）中，深度且精準地衰減轉子轉速頻率?f_n（ω_n = 2πf_n）及其附近窄帶內的信號分量。
- 物理意義：?削弱位移傳感器信號中由不平衡力引起的強同步振動分量，阻止其進入控制器產生強激勵電流，從而打破“振動-激勵-更大振動”的惡性循環。
- 核心效果：?顯著降低轉子在幾何中心（RC）附近振動的同步分量（1X）幅值，減小位移峰峰值。
傳遞函數：數學描述與物理含義
標準二階陷波濾波器的傳遞函數為：
$G_{notch}(s) = \frac{s^2 + 2\zeta_1\omega_n s + \omega_n^2}{s^2 + 2\zeta_2\omega_n s + \omega_n^2}$
- ω_n：陷波中心頻率 (rad/s)，必須精確等于或快速跟蹤轉子當前轉速頻率?ω。
- ζ1?(Zeta1)：控制陷波深度。
  - ζ1?越小 → 分子在?ω_n?處的幅值越小 →?陷波越深?→ 對?ω_n?頻率的衰減越強。
  - 代價：?過小的?ζ1?會導致陷波頻率附近相位突變劇烈，嚴重威脅系統穩定性。
- ζ2?(Zeta2)：控制陷波寬度。
  - ζ2?越大 → 分母的阻尼越大 → 濾波器帶寬越寬 →?陷波越寬?→ 能覆蓋轉速波動范圍。
  - 代價：?過寬的陷波會過度衰減?ω_n?附近的有用信號（如控制指令、其他頻率的動態響應），降低系統動態性能，甚至影響穩定性。
- 頻率響應特性：
  - 幅頻特性：?在?ω_n?處形成一個尖銳的下陷（“陷波”），深度由?ζ1?決定，寬度（-3dB 帶寬）由?ζ2?決定。ζ2?通常顯著大于?ζ1。
  - 相頻特性：?在?ω_n?附近引入顯著的相位滯后（在?ω_n?處滯后接近 180°），這是影響控制效果和穩定性的關鍵因素。
在磁懸浮不平衡控制中的作用機制
- 放置在反饋回路：
  1. 位移傳感器信號?y(t)?包含：幾何中心位移?y_{rc}(t)?+ 不平衡振動引起的同步分量?y_{1X}(t)?+ 噪聲。
  2. y(t)?經過陷波濾波器?G_{notch}(s)。
  3. y_{1X}(t)?分量被顯著衰減，輸出信號?y_{filt}(t) ≈ y_{rc}(t)?+ 殘余噪聲/振動。
  4. 控制器（如PID）接收?y_{filt}(t)，認為轉子偏離幾何中心的主要是?y_{rc}(t)。
  5. 控制器計算出的電流指令?I_c(t)?主要作用于抑制?y_{rc}(t)。
  6. 電磁力?F_c(t)?主要平衡除不平衡力以外的擾動力，避免過度激勵同步振動。
  7. 轉子實際繞幾何中心旋轉的振動幅度?y_{1X}(t)?顯著減小。
- 放置在前饋通道：?較少用于不平衡抑制，更多用于抵消已知的周期性擾動（如電機齒槽轉矩），需精確知道擾動特性和系統模型。

二、設計精髓：參數整定與穩定性保障

陷波濾波器的威力巨大，但使用不當極易“傷及自身”（系統失穩）。其設計是精度與穩定性的藝術平衡。

核心參數設計流程：
- 步驟1：確定中心頻率ω_n
  - 實時性：?ω_n?必須?實時跟蹤轉子轉速?ω。通常由驅動系統的編碼器或霍爾信號實時獲取轉速信息?ω，計算?ω_n = ω?(rad/s) 或?f_n = ω / (2π)?(Hz)。
  - 精度：?轉速測量精度直接影響陷波中心定位精度。誤差過大會導致目標頻率未被有效衰減。
- 步驟2：選擇陷波深度?ζ1
  - 目標：?達到所需的同步振動衰減比（如降低20dB即振幅降為1/10）。
  - 約束：
    - 穩定性裕度：?過小的?ζ1?(如 <0.01) 導致深陷波，在?ω_n?處引入接近180°的劇烈相位滯后，嚴重影響系統的相位裕度(PM)，極易引發失穩。必須保證加入陷波器后，系統在?ω_n?處的開環相位滯后仍小于 (180° -PM_min)。
    - 噪聲放大：?深陷波在通帶(ω << ω_n?和?ω >> ω_n)會引入小幅增益，可能放大低頻噪聲或高頻未建模動態。
  - 工程建議：?初始值取?0.02~0.05，通過仿真和實驗在穩定性允許范圍內逐步減小以追求更好抑制效果。
- 步驟3：選擇陷波寬度?ζ2
  - 目標：?覆蓋預期的轉速波動范圍?Δω。
  - 約束：
    - 選擇性：?過大的?ζ2?(如 >1.0) 導致寬陷波，不僅衰減?ω_n，還過度衰減其附近頻率的有用信號（如轉子剛體模態的動態響應、控制指令），降低系統動態性能，甚至影響穩定性（衰減了維持穩定所需的有用反饋信號）。
    - 魯棒性：?足夠寬的陷波能容忍一定的轉速測量誤差和系統參數變化。
  - 工程建議：?根據轉速控制精度和波動范圍選擇。轉速穩定時?ζ2=0.1~0.3；轉速波動較大時?ζ2=0.5~1.0。陷波帶寬?BW ≈ (ζ2 * ω_n) / π?(Hz)。
- 步驟4：相位補償
  - 問題：?陷波濾波器本身在ω_n?處引入接近180°滯后 + 系統本身（傳感器、功放、電磁鐵、控制器）在?ω_n?處存在固有相位滯后?φ_sys?→ 總滯后接近?180° + φ_sys。控制器輸出的抵消力?F_c?的相位嚴重滯后于不平衡力?F_u，無法實現有效抵消（理想需180°反相），甚至可能同相疊加放大振動！
  - 解決方案：?在陷波濾波器后（或內部）串聯一個相位超前補償器。
    - 目標相位超前量：?φ_lead ≈ 180° - φ_sys（在頻率?ω_n?處）。
    - 常用補償器：?一階超前環節： $G_{lead}(s) = K \frac{s + z}{s + p}$ ，z < p，通過調整零點?z?和極點?p?的位置，使其在?ω_n?處提供所需的?φ_lead。
    - 設計方法：
      1. 測量或仿真得到系統開環傳遞函數在?ω_n?處的相位滯后?φ_sys。
      2. 計算需要補償的相位量?φ_lead = 180° - φ_sys - θ_margin?(θ_margin?為安全裕度，如5°~10°)。
      3. 利用公式?φ_{max} = \arcsin(\frac{p/z - 1}{p/z + 1})?或根軌跡/Bode圖設計工具確定?z?和?p，使?G_{lead}(jω_n)?的相角等于?φ_lead。
      4. 注意補償器增益?K?的設置，避免引入不必要的增益變化。
穩定性分析：不可逾越的紅線
- 方法：?將設計好的陷波濾波器（含相位補償）加入閉環系統模型。
- 關鍵分析：
  - 開環伯德圖(Bode Plot)：?重點關注?ω_n?附近和穿越頻率處的幅值裕度(GM)和相位裕度(PM)。確保?GM > 6dB，?PM > 30°（或更嚴格的指標）。特別注意?ω_n?處的相位“凹坑”是否導致PM過低。
  - 奈奎斯特圖(Nyquist Plot)：?檢查曲線是否包圍 (-1, j0) 點？在?ω_n?附近曲線是否過于接近該點？
  - 閉環極點：?檢查所有閉環極點是否嚴格位于左半平面（具有足夠的阻尼比）。
- 迭代：?如果穩定性裕度不足，必須犧牲部分陷波性能（增大?ζ1?或?ζ2）或重新優化相位補償，直至滿足穩定性要求。穩定性永遠優先于振動抑制性能！

三、從理論到芯片：實現關鍵點

離散化：
- 連續域設計的?G_{notch}(s)?和?G_{lead}(s)?需轉換為離散域傳遞函數?H_{notch}(z)?和?H_{lead}(z)，以便在數字控制器(DSP/FPGA)中實時計算。
- 常用方法：?雙線性變換(Tustin)、零階保持(ZOH)匹配。雙線性變換應用最廣，能較好保持頻率特性，但會引入頻率畸變（需預畸變校正）。
- 離散傳遞函數形式：
- 差分方程實現 (實時計算)：
  - x[n]：當前輸入采樣（如位移傳感器信號）。
  - y[n]：當前輸出采樣（濾波后信號）。
  - x[n-1], x[n-2], y[n-1], y[n-2]：歷史數據（需存儲）。
  - 系數?b0, b1, b2, a1, a2?由連續傳遞函數離散化得到。
實時性要求：
- 采樣頻率?f_s?必須遠高于系統最高關注頻率（通常 > 10倍最高轉子工作頻率或最高柔性模態頻率），且遠高于?ω_n。典型值在 kHz 級別（如 5kHz - 20kHz）。
- 陷波器中心頻率ω_n?更新速率需足夠快以跟蹤轉速變化，通常與控制周期同步。

四、進階：自適應陷波器

應對轉速頻繁變化或不平衡量未知/緩慢變化的挑戰。

原理：
- 核心思想：?陷波器參數（ω_n,?ζ1, 甚至?ζ2）不再固定，而是根據實時轉速和振動反饋信號自動調整。
- 頻率跟蹤：?ω_n?嚴格跟隨實時測量的轉速?ω。
- 深度/寬度自適應：?監測轉子振動信號（通常是位移傳感器信號的1X分量幅值?A_{1X}）。通過自適應算法（如LMS梯度下降、RLS）調整?ζ1（有時也調?ζ2）：
  - 若?A_{1X}?過大 → 減小?ζ1（加深陷波）。
  - 若?A_{1X}?過小或系統穩定性指標（如相位裕度估計值）接近閾值 → 增大?ζ1（減小陷波深度，提升穩定性裕度）。
優勢：
- 在變轉速工況下保持最優抑制效果。
- 自動適應不平衡量的變化（如熱變形導致的質心漂移）。
- 理論上可在保證穩定性的前提下，動態尋找最優的?ζ1。
挑戰：
- 算法復雜度：?顯著高于固定參數陷波器。
- 收斂性與穩定性：?自適應率（步長）選擇至關重要。過大導致振蕩發散；過小導致收斂緩慢。需要精心設計和驗證。
- 實時計算負擔：?對控制器性能要求更高。

五、工程實踐：調試與效果

調試流程：
- 低速穩定：?確保基礎PID控制下轉子低速穩定懸浮。
- 注入陷波：?在目標工作轉速區間內，逐步、謹慎地啟用陷波器。
  - 初始參數：ζ1=0.05,?ζ2=0.5?(保守值)。
  - 相位補償先不啟用或設置為0。
- 監測與調整：
  - 使用頻譜分析儀或控制器內置FFT功能，實時監測轉子位移頻譜，觀察1X分量幅值。
  - 緩慢減小?ζ1，觀察1X幅值下降效果，同時嚴密監控時域波形、控制電流、穩定性裕度指標（如有實時計算）。一旦發現振動加劇（相位問題）或系統響應異常（失穩征兆），立即回退?ζ1。
  - 逐步啟用并調整相位補償器參數，目標是最大化1X分量的抑制效果（觀察頻譜1X分量最小化）。
  - 微調?ζ2：如果轉速穩定，嘗試減小?ζ2?以提升選擇性；如果轉速波動大或抑制效果不穩定，適當增大?ζ2。
- 全轉速范圍掃頻：?在設計的轉速范圍內進行升速/降速測試，尤其關注穿越臨界轉速和?ω_n?變化時系統的穩定性和振動抑制效果。
效果評估：
- 系統在目標轉速范圍內?穩定運行，控制電流合理無飽和。
- 傳遞到基座的?1X 激振力大幅降低，設備整體振動和噪聲減小。
- 位移頻譜中?1X 分量幅值大幅衰減（降低20-40dB常見）。
- 轉子位移時域波形?峰峰值顯著降低，軌跡更圓。

結語

陷波濾波器是磁懸浮軸承解決轉子不平衡質量有效方法，其核心在于精準的頻率選擇性衰減，精髓在于深度、寬度、相位補償與系統穩定性的極致平衡。其傳遞函數背后的物理意義，參數整定與穩定性分析方法，離散化實現與調試技巧，是工程實踐中成功應用的關鍵。自適應陷波技術的引入，進一步提升了其在變工況下的魯棒性和適應性。