[SDOI2009]Bill的挑戰——全網唯一 一篇容斥題解

全網唯一一篇容斥題解

Description

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Solution

看到這個題，大部分人想的是狀壓dp

但是我是個蒟蒻沒想到，就用容斥切掉了。

并且復雜度比一般狀壓低，

（其實這個容斥的算法，提出來源于ywy_c_asm）

（然而我知道了這個算法，竟然和他寫的不一樣，而且比他跑的快）

進入正題：

我們需要統計恰好滿足匹配k個的情況。

那么，我們可以先找出來，恰好滿足n個，n-1，n-2。。。k個的情況。

分別記為ans[i]

ans[i]怎么算呢？

先給出公式：

ans[i]=cal(i)-∑C(j,i)×ans[j] 其中，i+1<=j<=n

cal(i)表示，從n個中任意選擇i個，對于所有選擇的情況，的方案數的和。

cal(i)可以dfs暴力C(n,i)枚舉，每次統計答案。計入tot

void dfs(int x,int has){if(x==n+1){if(has!=up) return;ll lp=1;for(int j=1;j<=len;j++){las=-1;for(int i=1;i<=up;i++){if(a[mem[i]][j]!='?'){if(las==-1){las=a[mem[i]][j]-'a';}else if(las!=a[mem[i]][j]-'a') return;}}if(las==-1)lp=(lp*26)%mod;}(tot+=lp)%=mod;return;}if(has<up) {mem[++cnt]=x;dfs(x+1,has+1);mem[cnt--]=0;}if(n-x>=up-has) dfs(x+1,has);
}

至于后面減去的部分。就是容斥的內容了。

大家可以自己畫一個韋恩圖理解一下。

這里有一個例子：n=4

現在我們要算ans[2],也就是恰好匹配2個的T的方案數

就是黃色的部分。

紅色的數字是這個區域被算cal(i)的次數。

可見，三個點的重復區域，由于有C(3,2)種方法選到，所以會被算C(3,2)次。

所以減去所有的ans[3]即可。

其他情況同理。

最后輸出ans[1]

組合數打表。

理論復雜度：
O(n×len×2^15)

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=20;
const int M=52;
const int mod=1000003;
char a[N][M];
int len;
int n,t,k;
int mem[N],cnt;
ll ans[N];
ll c[N][N];
ll sum;
ll tot;//tot measures
int up;//choose 
int las;
void dfs(int x,int has){//dfs計算tot if(x==n+1){if(has!=up) return;ll lp=1;for(int j=1;j<=len;j++){las=-1;for(int i=1;i<=up;i++){if(a[mem[i]][j]!='?'){if(las==-1){las=a[mem[i]][j]-'a';}else if(las!=a[mem[i]][j]-'a') return;//兩個字符不一樣，無合法方案 
                }}if(las==-1)lp=(lp*26)%mod;//如果都是‘？’可以隨便填，否則只有一種 
        }(tot+=lp)%=mod;return;}if(has<up) {mem[++cnt]=x;dfs(x+1,has+1);mem[cnt--]=0;}if(n-x>=up-has) dfs(x+1,has);
}void clear(){memset(ans,0,sizeof ans);sum=0;len=0;
}
int main()
{for(int i=0;i<=N-1;i++){c[i][0]=1;for(int j=1;j<=i;j++){c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;}}scanf("%d",&t);while(t--){clear();//清空數組，其實沒有必要 scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%s",a[i]+1);}len=strlen(a[1]+1);//長度 for(int i=n;i>=k;i--){//ans[i]計算 tot=0;up=i;dfs(1,0);sum=0;for(int j=i+1;j<=n;j++){//容斥的處理 (sum+=c[j][i]*ans[j])%=mod;}ans[i]=(tot-sum+mod)%mod;}printf("%lld\n",ans[k]);}return 0;
}

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