什么是碼分多址

碼分多址：CDMA允許多個用戶同時、在同一頻率上傳輸數據。它通過給每個用戶分配唯一的、相互正交的二進制序列來實現區分。用戶的數據比特被這個碼片序列擴展成一個高速率的信號，然后在接收端通過相同的碼片序列進行相關運算來回復原數據

關鍵概念

• 比特：用戶要發送的原始數據（0/1）
• 碼片：組成碼片序列的單個二進制元素（通常+1和-1表示）
• 碼片序列：分配給用戶的唯一二進制序列。它的長度（碼片速率）遠高于原始數據比特的速率（比特速率）。$碼片速率/比特速率=擴頻因子$
• 正交性：兩個碼片序列A和B正交，當且僅當它們的歸一化內積為0：$(A?B)/N=0$，其中N為序列長度
• 擴頻：用碼片序列調制數據比特的過程，將窄帶信號轉換為寬帶信號
• 解擴/相關：接收端用發送端相同的碼片序列與接收到的混合信號進行內積運算，回復原始數據比特的過程

CDMA 完整流程

1. 分配碼片序列

   • 在通信開始前，基站為每個需要同時通信的用戶分配唯一的、預先定義好的、相互正交的二進制序列

2. 發送端數據處理

   • 數據比特準備：用戶準備好要發送的原始數據比特
   • 比特到符號的映射（可選）：為了簡化處理，通常將比特0映射為符號-1，將比特1映射為+1，我們記這個符號為D(D = -1或D = +1)
   • 擴頻
     • 用戶使用分配給自己的碼片序列C = [c1, c2, c3, ..., cN]（其中每個ci是+1或-1）對數據符號D進行調制
     • 將碼片序列C乘以數據符號D
     • 生成一個擴展后的信號序列$S=D?C=[D?c1,D?c2,D?c3,...,D?cN]$
     • 如果D = +1 則S就是C本身（原碼），如果D = -1 則S就是C取反（反碼）
     • 帶寬擴展：原始數據比特D的持續時間被擴展成N個碼片的持續時間。信號帶寬被擴展了N倍（擴頻因子為N）

3. 空中接口（混合信號）

   • 所有用戶的擴展后信號序列 S_user1, S_user2, ..., S_userK，同時在同一個無線信道上傳輸
   • 在接收天線處，接收到的信號R是所有這些用戶擴展信號的線性疊加，再加上噪聲Noise，即：$S_{u}ser1+S_{u}ser2+...+S_{u}serK+Noise$

4. 接收端解碼

   • 設接收端想要回復User X的數據
   • 解擴/相關
     • 接收端用接收到的混合信號R與User X的碼片序列cx進行逐碼片相乘
     • 對相乘后的結果進行求和，并將求和結果除以碼片序列長度N（歸一化）
     • 即：$Result=(R?Cx)/N=([R1,R2,...,RN]?[Cx1,Cx2,...,CxN])/N=(R1?Cx1+R2?Cx2+...+RN?CxN)/N$

5. 解釋結果：

   • 由于碼片序列的正交性，其他用戶的信號（S_userY, Y≠X）與 Cx 的相關結果理論上接近于 0（理想正交時為 0），它們的影響被極大地抑制了。
   • 噪聲的影響會被平均掉一部分（處理增益）。
   • 目標用戶 User X 的信號 Sx = Dx * Cx 與 Cx 的相關結果為：
     (Sx ? Cx) / N = ((Dx * Cx) ? Cx) / N = Dx * (Cx ? Cx) / N = Dx * (N) / N = Dx
     • 因為 (Cx ? Cx) = c1*c1 + c2*c2 + ... + cN*cN = (+1或-1的平方和) = N。
   • 因此，最終的相關結果 Result ≈ Dx（目標用戶發送的原始符號，+1 或 -1）。

6. 符號到比特映射

   • 如果 Result > 0（接近 +1），則判決為比特 1。
   • 如果 Result < 0（接近 -1），則判決為比特 0。

具體舉例

場景： 兩個用戶 Alice (A) 和 Bob (B) 要同時向基站發送數據。基站使用長度為 4 的 Walsh 碼。
分配碼片序列：

• Alice (A) 的碼片序列： Ca = [+1, +1, +1, +1]
• Bob (B) 的碼片序列： Cb = [+1, -1, +1, -1]
• 驗證正交性：(Ca ? Cb) / 4 = ((+1)(+1) + (+1)(-1) + (+1)(+1) + (+1)(-1)) / 4 = (1 -1 +1 -1)/4 = 0/4 = 0。完美正交。

發送數據：

1. Alice 要發送比特 1：
   • 映射為符號 Da = +1。
   • 擴頻：Sa = Da * Ca = (+1) * [+1, +1, +1, +1] = [+1, +1, +1, +1]
2. Bob 要發送比特 0：
   • 映射為符號 Db = -1。
   • 擴頻：Sb = Db * Cb = (-1) * [+1, -1, +1, -1] = [-1, +1, -1, +1]

空中混合信號 R：
R = Sa + Sb = [+1, +1, +1, +1] + [-1, +1, -1, +1] = [ (1-1), (1+1), (1-1), (1+1) ] = [0, +2, 0, +2]

基站接收并解碼：

• 解碼 Alice 的數據 (使用 Ca = [+1, +1, +1, +1]):

  1. 逐碼片相乘：R * Ca = [0*+1, +2*+1, 0*+1, +2*+1] = [0, +2, 0, +2]
  2. 求和：0 + 2 + 0 + 2 = +4
  3. 歸一化：Result_A = +4 / 4 = +1
  4. 判決：+1 > 0 => 比特 1 (Alice 發送的數據正確恢復)。

• 解碼 Bob 的數據 (使用 Cb = [+1, -1, +1, -1]):

  1. 逐碼片相乘：R * Cb = [0*+1, +2*(-1), 0*+1, +2*(-1)] = [0, -2, 0, -2]
  2. 求和：0 + (-2) + 0 + (-2) = -4
  3. 歸一化：Result_B = -4 / 4 = -1
  4. 判決：-1 < 0 => 比特 0 (Bob 發送的數據正確恢復)。

CDMA線代推導

假設有k個用戶共享信道，碼片序列長度為m（要求$k\le m$，以確保正交向量組存在），碼向量${\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2,\dots ,{\mathbf{c}}_k$構成正交向量組，且假設已歸一化，即$(\Vert {\mathbf{c}}_i{\Vert }^2=1$，非歸一化情況將在后面討論)

1. 碼序列的正交條件

   • 碼向量滿足
     $${\mathbf{c}}_i?{\mathbf{c}}_j=\{\begin{array}{ll}1& \text{if?}i=j\\ 0& \text{if?}i\ne j\end{array}$$
     這等價于碼序列矩陣 $(C=[{\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2,\dots ,{\mathbf{c}}_k])$的列向量組是標準正交向量組，即 $(C^{T}C=I_k)$（$(k\times k)$ 單位矩陣）

2. 信號生成

   • 每個用戶 發送數據$d_i$（例如二進制系統的$d_i=\pm 1$）
   • 發送信號是碼向量的線性組合：
     $$\mathbf{s}=\sum _{i=1}^k{d}_i{\mathbf{c}}_i$$
     這里，$\mathbf{s}\in {\mathbb{R}}^m$ 是疊加后的信號向量

3. 接收信號模型

   • 接收端收到信號 $\mathbf{r}$（忽略噪聲）：
     $$\mathbf{r}=\mathbf{s}=\sum _{i=1}^k{d}_i{\mathbf{c}}_i$$
     實際中包括噪聲 $\mathbf{n}$，但為簡化，假設 $\mathbf{n}=0$。

4. 信號分離（關鍵步驟！！）

   • 接收端計算 $\mathbf{r}$ 與用戶 j 的碼向量 ${\mathbf{c}}_j$ 的內積：
     $$y_j=\mathbf{r}?{\mathbf{c}}_j=\left(\sum _{i=1}^k{d}_i{\mathbf{c}}_i\right)?{\mathbf{c}}_j$$
   • 由內積的線性性質
     $$y_j=\sum _{i=1}^k{d}_i({\mathbf{c}}_i?{\mathbf{c}}_j)$$
   • 由正交性，${\mathbf{c}}_i?{\mathbf{c}}_j=0$ 當 $i\ne j$，且 ${\mathbf{c}}_j?{\mathbf{c}}_j=1$
     $$y_j=d_j({\mathbf{c}}_j?{\mathbf{c}}_j)+\sum _{i\ne j}{d}_i({\mathbf{c}}_i?{\mathbf{c}}_j)=d_j?1+\sum _{i\ne j}{d}_i?0=d_j$$
     因此，接收端完美提取用戶 j 的數據：$d_j=y_j$。

擴展到非歸一化碼序列

實際系統中，碼序列可能未歸一化（例如，使用二進制序列 {±1}\{\pm 1\}{±1}）。設 $\Vert {\mathbf{c}}_j{\Vert }^2={\mathbf{c}}_j?{\mathbf{c}}_j\ne 1$，但正交性仍保持：${\mathbf{c}}_i?{\mathbf{c}}_j=0$（當 $i\ne j$）。

• 發送信號仍為 $\mathbf{r}={\sum }_{i=1}^k{d}_i{\mathbf{c}}_i$。
• 分離時：
  $$y_j=\mathbf{r}?{\mathbf{c}}_j=d_j({\mathbf{c}}_j?{\mathbf{c}}_j)+\sum _{i\ne j}{d}_i({\mathbf{c}}_i?{\mathbf{c}}_j)=d_j\Vert {\mathbf{c}}_j{\Vert }^2$$
• 因此，數據恢復為：
  $$d_j=\frac{y_j}{\Vert {\mathbf{c}}_j{\Vert }^2}$$
  這里，$\Vert {\mathbf{c}}_j{\Vert }^2$ 是碼向量的范數平方（能量），在接收端已知。